Bước 1: Tìm y’
Hàm số đồng biến trên khoảng K khi và chỉ khi y’ ≥ 0 ∀ x ∈ K
Hàm số nghịch biến trên khoảng K khi và chỉ khi y’ ≤ 0 ∀x ∈ K
Bước 2: Cô lập tham số m đưa về dạng m≥g(x) hoặc m ≤ g(x)
Bước 3: Vẽ bảng biến thiên của g(x)
Bước 4: Kết luận
m ≥ g(x) ∀ x ∈ K khi và chỉ khi m ≥
m ≤ g(x) ∀ x ∈ K khi và chỉ khi m ≤
Một số hàm số thường gặp
⇒ f'(x) = 3ax 2 + 2bx + c
Hàm số đồng biến trên (α; β) khi và chỉ khi β ≤ xc hoặc α ≥ x 2
Hàm số nghịch biến trên (α; β) khi và chỉ khi x 1 ≤ α < β ≤ x 2
Với a <0 và f'(x) có hai nghiệm phân biệt x 1 < x 2
Hàm số đồng biến trên (α; β) khi và chỉ khi x 1 ≤ α < β ≤ x 2
Hàm số nghịch biến trên (α; β) khi và chỉ khi β≤x 1 hoặc α ≥ x 2
Hàm phân thức bậc nhất: y = (ax + b)/(cx + d) ⇒ y’= (ad – bc)/(cx + d) 2
Hàm số nghịch biến trên khoảng K khi và chỉ khi ad – bc < 0 và -d/c ∉ K
Ví dụ minh họaVí dụ 1: Tìm m để hàm số y = x 3/3 – mx 2+(1 – 2m)x- 1 đồng biến trên (1; +∞)
Hướng dẫn
TXĐ: D = R
Ta có y’ = x 2 – 2mx + 1 – 2m
Hàm số đã cho đồng biến trên (1; +∞)⇔ ∀ x ∈(1; +∞),y’ ≥ 0
⇔ ∀ x ∈ (1; +∞), x 2 -2mx + 1 – 2m ≥ 0 ⇔ ∀ x ∈(1; +∞), x 2 + 1 ≥ 2m(x + 1)
Xét hàm số f(x) = (x 2 + 1)/(x + 1), x ∈ (1; +∞)
Ta có bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên để 2m ≤ f(x),∀ x ∈(1; +∞) thì 2m ≤ 1 ⇔ m ≤ 1/2
Ví dụ 2: Tìm giá trị của tham số m để hàm số y = (2x – 1)/(x – m) nghịch biến trên khoảng (2; 3)
Hướng dẫn
TXĐ: D=R{m}.
Ta có y’= (-2m + 1)/(x – m) 2 . Để hàm số nghịch biến trên khoảng (2; 3) thì hàm só phải xác định trên khoảng (2; 3) và y’ < 0 ∀ x ∈ (2; 3).
Vậy giá trị của tham số m cần tìm là
Ví dụ 3: Tìm các giá trị m để hàm số y = mx 3 – x 2 + 3x + m – 2 đồng biến trên (-3 ; 0)
Hướng dẫn
TXĐ: D = R
Ta có y’= 3mx 2 – 2x + 3. Hàm số đồng biến trên khoảng (-3; 0) khi và chỉ khi:
y’ ≥ 0,∀ x ∈(-3; 0) (Dấu ” = ” xảy ra tại hữu hạn điểm trên (-3; 0))
⇔ 3mx 2 – 2x + 3 ≥ 0, ∀ x ∈(-3; 0)
⇔ m ≥(2x-3)/(3x 2 ) = g(x) ∀ x ∈(-3;0)
Ta có: g'(x) = (-2x + 6)/(3x 3 ); g'(x) = 0 ⇔ x = 3
Bảng biến thiên
Vậy m ≥ = -1/3.
B. Bài tập vận dụngCâu 1: Tìm tất cả giá trị của tham số m để hàm số y = mx 2 – (m + 6)x nghịch biến trên khoảng (-1; +∞)
Hiển thị đáp án
Ta có:
⇒ 2mx – (m + 6) ≤ 0 ⇔ m ≤ .
Xét hàm số g(x) = với x ∈ (-1;+∞).
Bảng biến thiên
Câu 2: Cho hàm số y = x 3-3mx 2+3(m 2 – 1)x – 2m + 3. Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 2).
Hiển thị đáp án
Tập xác định: D = R
Đạo hàm y’=3x 2-6mx+3(m 2-1)
Do đó y’ ≤ 0 ∀ x ∈(1;2) ⇔ x 1 ≤ 1 < 2 < x 2 ⇔
Hiển thị đáp án
Bảng biến thiên
Câu 4: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số đồng biến trên khoảng (2; +∞).
Hiển thị đáp án
TXĐ: D = R{m}
Ta có: y’= .
Hàm số đồng biến trên khoảng (2;+∞)
Câu 5: Tìm giá trị của m để hàm số đồng biến trên khoảng (4; +∞)
Hiển thị đáp án
Trường hợp 1: Khi m = -1, hàm số trở thành với mọi x
Trường hợp 2: Khi m ≠ -1, ta có
⇔ ∀ x ∈(4; +∞), g(x) ≥ 0 ⇔ ∀ x ∈ (4; +∞), ≤ m.
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên của h(x) suy ra,∀ x ∈(4; +∞),h(x) ≤ m m ≥-1.
Câu 6: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số đồng biến trên khoảng (π/4; π/2).
Hiển thị đáp án
Ta có: .
Câu 7: Tìm m để hàm số đồng biến trên [1; +∞).
Hiển thị đáp án
Ta có:
có tập xác định là D = R{-m} và .
Hàm số đã cho đồng biến trên [1; +∞) ⇔
x 2 + 2mx – 4m ≥ 0,∀ x ∈[1; +∞)⇔
Câu 8: Với giá trị nào của m thì hàm số y=√(x 2+2mx+m 2+1) đồng biến trên khoảng (1; +∞).
Hiển thị đáp án
Ta có
Bảng biến thiên
Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại chúng tôi
tinh-don-dieu-cua-ham-so.jsp