Phương Pháp Cm Quy Nạp / TOP 4 # Xem Nhiều Nhất & Mới Nhất 3/2023 # Top View

SỞ GD & ĐT TP HỒ CHÍ MINH CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

1. Chứng minh đẳng thức : , đúng với mọi n  N*

Học sinh thường lúng túng khi thiết lập ứng với n = 1 , n = k , n =k+1

Trước tiên học sinh phải hiểu tổng n số hạng là như thế nào . Hướng dẫn cho học sinh hiểu và thực hiện như sau : VT = là tổng của n số hạng ,với :

+ n = 1 : VT chỉ có 1 số hạng là u (1)

Hướng dẫn học sinh thực hiện động tác phân tích này ngoài nháp để hiểu được ý nghĩa để có thể áp dụng dễ dàng vào bài giải của mình

Ta có = f(k) + u(k + 1) . Biến đổi f(k) + u(k + 1) = f(k + 1) tức là ta đã chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1 .

Ví dụ 1 : Chứng minh chia hết cho 6 , với mọi n  N*

Đặt u (n) =

Bước 2 : Giả sử với n = k (k  1) có : u(k) = chia hết cho 6

Với n = k + 1 ta cần cm : u(k + 1) = cũng chia hết cho 6

Ta có u(k + 1) = = + 6k 2 = u(k) + 6k 2

Theo giả thiết quy nạp thì u(k) = chia hết cho 6 ; 6k 2 ch ia hết cho 6

Suy ra u(k + 1) = cũng chia hết cho 6

Kết luận : chia hết cho 6 , với mọi n  N*

Ví dụ 2 : Chứng minh chia hết cho 9 , với mọi n  N

Đặt u (n) =

Bước 1 : Kiểm chứng với n = 0 : u( 0 ) = . Suy ra u ( 0 ) chia hết cho 9

Bước 2 : Giả sử với n = k (k  0 ) có : u(k) = chia hết cho 9

Với n = k + 1 ta cần cm : u(k + 1) = cũng chia hết cho 9

Ta có u(k + 1) = = =

Theo giả thiết quy nạp thì u(k) = chia hết cho 9 ; – 9(5k – 2) ch ia hết cho 9

Suy ra u(k + 1) = cũng chia hết cho 9

Kết luận : chia hết cho 9 , với mọi n  N

Ở bài toán này học sinh lúng túng ở bước 2 khi thực hiện chứng minh bđt đúng với n = k + 1 . Giáo viên có thể hướng dẫn cho hoc sinh sử dụng tính chất bắc cầu của bất đẳng thức để chứng minh

Ví dụ 1 : Chứng minh , đúng với mọi n  N và n  3

Kết luận : , đúng với mọi n  N và n  3

Ví dụ 2 : Chứng minh , đúng với mọi n  N *

Đặt A(n) = .Ta thực hiện bước phân tích trước khi tiến hành bài giải

+ n = 1 : A(1) = 1 ; + n = 2 : A(2) = ; + n = 3 : A(3) =

+ n = 4 : A(4) = ; … ; + n = k : A(k) =

+ n = k + 1 : A(k + 1) =

Học sinh tiến hành các bước quy nạp :

Bước 1 : Kiểm chứng với n = 1 : : bất đẳng thức đúng với n = 1

Bước 2 : Giả sử với n = k (k  1) có :

Với n = k + 1 ta cần cm :

* < + ;

Xét hiệu + – = =

= < 0 với mọi k  1 ; suy ra + <

Kết luận : < , đúng với mọi n  N*

Đặt A(n) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + … + (2n – 1) . Ta thực hiện bước phân tích ngoài nháp :

+ n = 4 : A(4) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 ; … ; + n = k : A(k) = 1 + 2 +3 + 4 + 5 + 6 + … + (2k – 1)

+ n = k + 1 : A(k + 1) = 1 + 2 +3 +4 + 5 + 6 + … + (2k – 1) + 2k + (2(k + 1) – 1)

Sau bước phân tích như trên thì học sinh có thể dễ dàng thực hiện các bước giải :

= = 2k(k + 1) + k + 1 = (k + 1)(2k + 1) = (k+1)(2k+2-1) (k+1)(2(k+1)-1)

Suy ra : đẳng thức đúng với n = k + 1

– Với các học sinh khá giỏi , sau khi thực hành các bài toán trên , các em còn tự liên hệ và giải các bài toán ở mức độ khó hơn

NGUYỄN PHẠM NGỌC THUÝ

Trong bài này, chúng ta tiếp tục tìm hiểu thêm và phương pháp quy nạp. Ngoài dạng quy nạp như đã biết ta còn một số dạng quy nạp khác như: Quy nạp mạnh, quy nạp bước nhảy, quy nạp lùi.

Quy nạp mạnh được phát biểu như sau: Để chứng minh mệnh đề $P(n)$ đúng với mọi số tự nhiên $n$, ta thực hiện theo hai bước sau:

Chứng minh $P(n)$ đúng với $n=1$.

Giả sử $P(n)$ đúng với $1, 2, cdots, n$. Chứng minh $P(n+1)$ đúng.

Ví dụ 1. Cho $x$ thỏa $x+dfrac{1}{x}$ là số nguyên. Chứng minh rằng $x^n+dfrac{1}{x^n}$ là số nguyên với mọi $n$.

Lời giải.

Ta có $x + dfrac{1}{x}$ là số nguyên đúng (theo giả thiết).

Giả sử $x^k + dfrac{1}{x^k}$ là số nguyên với mọi $k = overline{1,n}$. Ta cần chứng minh $x^{n+1} + dfrac{1}{x^{n+1}}$.

$(x^{n+1} + dfrac{1}{x^{n+1}} = (x+dfrac{1}{x})(x^n + dfrac{1}{n}) – (x^{n-1}+dfrac{1}{x^{n-1}})$.

Theo giả thiết quy nạp thì $x^{n+1} + dfrac{1}{x^{n+1}}$ là số nguyên.

Vậy ta có $x^n + dfrac{1}{x^n}$ là số nguyên với mọi $n$.

Dạng kế tiếp là Quy nạp bước nhảy được phát biểu như sau: Chứng minh mệnh đề $P(n)$ đúng với mọi $n$, ta làm như sau:

Chứng minh $P(1), P(2), cdots, P(k)$ đúng.

Giả sử $P(n)$ đúng. Ta chứng minh $P(n+k)$ đúng.

Ví dụ 2. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $M$ tồn tại số tự nhiên $n$ và cách chọn các dấu $+$ hoặc $-$ sao cho

$M = pm 1^2 pm 2^2 cdots pm n^2$.

Lời giải.

Khi $M = 1, 2, 3, 4$ ta có $1 = 1^2$, $2 = -1^2-2^2-3^2+4^2$, $3 = -1^2+2^2$ và $4 = 1^2-2^2-3^2+4^2$.

Giả sử đúng với $M$, tức là tồn tại $n$ thỏa $M = pm 1^2 pm 2^2 cdots pm n^2$, khi đó $M + 4 = pm 1^2 pm 2^2 cdots pm n^2 +(n+1)^2-(n+2)^2-(n+3)^2 + (n+4)^2$.

Ví dụ 3. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ thì phương trình $a^2 + b^2 = c^n$ luôn có nghiệm trong tập các số nguyên dương.

Lời giải.

Rõ ràng nếu $n=1, 2$ thì phương trình luông có nghiệm nguyên dương.

Giả sử phương trình có nghiệm nguyên dương là $a, b, c$ với $n$ nào đó, tức là $a^2 + b^2 = c^n$.

Khi đó với $n+2$ thì xét $(ac), (bc), c$: $(ac)^2+(bc)^2 = c^2 (a^2+b^2) = c^{n+2}$.

$(ac, bc, c$ là nghiệm.

Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi $n$.

Dạng kế tiếp là Quy nạp lùi được phát biểu như sau:

Chứng minh $P(a_i)$ đúng với dãy $(a_i)$ là dãy con tăng thực sự của tập các số tự nhiên.

Giả sử $P(n)$ đúng, chứng minh $P(n-1)$ đúng.

Ví dụ 4.

a) Hãy chỉ ra cách sắp 8 số nguyên dương đầu tiên 1, 2, …, 8 thành một dãy $a_1, a_2 ,…, a_8$ sao cho 2 số $a_i, a_j$ bất kì $(i < j)$ thì mọi số trong dãy nằm giữa $a_i$ và $a_j$ đều khác $dfrac{a_i + a_j}{2}$. b) Chứng minh rằng với $N$ số nguyên dương đầu tiên $1, 2, …, N$ luôn tìm được cách sắp thành dãy $a_1, a_2, …, a_N$ sao cho dãy thỏa mãn điều kiện như câu a).Lời giải.

a) Một cách xếp thỏa đề bài là 26481537. b)

Bước 1. Ta chứng minh bằng quy nạp với $n = 2^k$ thì luôn tồn tại một cách xếp thỏa đề bài.

Nếu $k = 1$, hiển nhiên đúng. Giả sử luôn tồn tại một cách xếp thỏa đề bài với $n = 2^k$, cách xếp đó là $a_1, a_2, …, a_n$. Ta chứng minh tồn tại một cách xếp với $n = 2^{k+1}$. Thật vậy xét hoán vị $(2a_1, 2a_2,…, 2a_n, 2a_1-1, 2a_2-1, …, 2a_n-1)$ là một hoán vị của $1, 2, …, 2^{k+1}$. Ta chứng minh hoán vị trên thỏa đề bài.

Ta có nếu $a_i, a_j in {2a_1, 2a_2, …, 2a_n}$ theo giả thiết quy nạp không có số nào nằm giữa $a_i, a_j$ bằng $dfrac{1}{2}(a_i+a_j)$.

Nếu $a_i in {2a_1, …, 2a_n}, a_j in {2a_1-1, 2a_2-1, …, 2a_n-1}$ thì $dfrac{1}{2}(a_i +a_j)$ không phải số nguyên.

Nếu $a_i, a_j in {2a_1-1, 2a_2-1, …, 2a_n-1}$ theo giả thiết quy nạp thì cũng có số nào nằm giữa $a_i, a_j$ bằng $dfrac{1}{2}(a_i + a_j)$.

Vậy bài toán đúng với $n = 2^k$.(1)Bước 2. Nếu bài toán đúng với $n$, ta chứng minh bài toán đúng với $n-1$.

Xét các số $a_1, a_2, …, a_n$ là một hoán vị thỏa đề bài của $1,2,…,n$.

Khi đó nếu xóa bất kì số nào trong các số $a_1, …, a_n$ thì dãy còn lại vẫn thỏa điều kiện. (2) Từ (1) và (2) ta có điều cần chứng minh.

Quy nạp lùi cũng là một trong những cách chứng minh bất đẳng thức Cauchy tổng quát: $dfrac{a_1+a_2 + cdots+a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2cdots a_n}$.

Bài tập rèn luyện.

Bài 1. Ta gọi tổng các số tự nhiên từ 1 đến n là số tam giác. Chứng minh rằng tồn tại vô hạn các số tam giác đồng thời là số chính phương.

Bài 2. (Chọn đội tuyển PTNK 2014) Tìm số nguyên dương $n$ lớn nhất thỏa mãn các điều kiện sau:

$n$ không chia hết cho 3;

Bảng vuông $n times n$ ô không thể được phủ kín bằng 1 quân tetramino $1 times 4$ và các quân trimino kích thước $1 times 3$. Trong phép phủ các quân tetramino và trimino được phép quay dọc nhưng không được phép chườm lên nhau hoặc nằm ngoài ra bảng vuông.

Bài 3. Có $n$ số tự nhiên từ 1 đến $n$ được viết thành một dòng theo một thứ tự nào đó. Mỗi bước thực hiện biến đổi như sau: nếu số đầu tiên là $k$ thì $k$ số đầu tiên sẽ được viết theo thứ tự ngược lại. Chứng minh rằng sau hữu hạn bước thì số đầu tiên của dòng là số 1.

Bài 4. Trong cuộc họp có $2n$ ($n geq 2$) người, một số người bắt tay nhau và người ta đếm được có $n^2+1$ cái bắt tay. Chứng minh rằng có $n$ bộ ba, mà mỗi bộ ba đôi một bắt tay nhau.

Bài 5. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ tồn tại các số nguyên $x, y, z$ phân biệt sao cho $x^2+y^2+z^2 = 14^n$.

Bài 6. Trong một giải đấu tennis có 10 người tham dự, hai đối thủ gặp nhau đúng một trận. Chứng minh rằng, sau khi kết thúc giải có thể sắp xếp các tay vợt thành một hàng mà người đứng trước thắng người đứng sau.

I. Mục tiêu bài dạy:1. Kiến thức: Học sinh nắm được:– Nội dung của phương pháp quy nạp toán học (gồm hai bước và bắt buộc theo trình tự nhất định).– Nắm rõ các bước của phương pháp quy nạp.2. Kỹ năng:– Sử dụng phương pháp quy nạp thành thạo.– Biết cách lựa chọn và sử dụng phương pháp quy nạp hiệu quả.3. Thái độ:– Rèn luyện tư duy logic, hệ thống, linh hoạt. Biết quy lạ về quen.– Cẩn thận chính xác trong lập luận quy nạp. Rèn luyện tư duy toán học vô hạn.

II. Phương pháp – phương tiện:1. Phương pháp dạy học:– Vấn đáp gợi mở.– Nêu vấn đề, giải quyết vấn đề.2. Phương tiện – chuẩn bị của thầy và trò:– Giáo viên: chuẩn bị câu hỏi gợi mở.– Học sinh: đọc trước bài, ôn tập kiến thức về mệnh đề ở lớp 10.

III. Phân phối thời lượng: Tiết 1: Phần lý thuyết Tiết 2: Phần bài tập

IV. Tiến trình bài dạy:Giáo viênHọc sinhBổ sung

Hoạt động 1: Ổn định lớp– Sỹ số lớp.– Kiểm tra tình hình chuẩn bị bài của học sinh.

Hoạt động 2: Dẫn dắt khái niệm1. Mệnh đề là gì? Mệnh đề chứa biến là gì?2. Cho hai mệnh đề chứa biến “” và “” với .a. Với thì và đúng hay sai?b. Với thì và đúng hay sai?

Kể từ trở đi, sai, dường như vẫn đúng. Có thể khẳng định sai với nhưng không thể khẳng định đúng với .

Hoạt động 3: Phương pháp quy nạp Toán học

Phương pháp quy nạp toán học:Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với .Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với (giả thiết quy nạp). Ta chứng minh mệnh đề cũng đúng với . Học sinh ghi chép bài

Hoạt động 4: Các ví dụ

1. Ví dụ 1: Chứng minh rằng với thì (1)Giáo viên phát vấn hướng dẫn:– Vế trái có bao nhiêu số hạng?– Bước 1 cần kiểm tra điều gì? Như thế nào?– Với bước 2, điều ta đã có là gì, điều là cần chứng minh là gì? Mệnh đề đúng với , đúng với nghĩa là như thế nào?Giáo viên hướng dẫn từng bước cho học sinh làm quen và làm bài.

2. Ví dụ 2: Chứng minh rằng với thì (2)Giáo viên phát vấn hướng dẫn:– Vế trái có bao nhiêu số hạng?– Bước 1 cần kiểm tra điều gì? Như thế nào?– Với bước 2, điều ta đã có là gì, điều là cần chứng minh là gì? Mệnh đề đúng với , đúng với nghĩa là như thế nào?Giáo viên gọi một học sinh lên bảng làm bài, yêu cầu học sinh khác nhận xét, uốn nắn sửa sai và hoàn chỉnh bài làm cho học sinh.

3. Ví dụ 3: Chứng minh rằng với thì (3)Giáo viên phát vấn hướng dẫn:– Bước 1 cần kiểm tra điều gì? Như thế nào?– Với bước 2, điều ta đã có là gì, điều là cần chứng minh là gì? Mệnh đề đúng với , đúng với nghĩa là như thế nào?Giáo viên gọi một học sinh lên bảng làm bài, yêu cầu học sinh khác nhận xét, uốn nắn sửa sai và hoàn chỉnh bài làm cho học sinh.

Bài làm ví dụ 1:Bước 1: Với , ta có: đúng.Bước 2: Giả sử (1) đúng với . Tức là:

Ta chứng minh (1) đúng với . Tức là:

Thật vậy, ta có:

Admin

Views – 862

Hãy chuẩn hóa luận cứ sau và cho biết luận cứ này của Emile Durkheim là diễn dịch hay quy nạp:

———-

“Và trên thực tế, cho tới nay, ngành xã hội học ít nhiều chỉ xử lý các khái niệm, chứ không xử lý các sự vật. Thực vậy, Comte đã tuyên bố rằng các hiện tượng xã hội là những sự kiện tự nhiên, phục tùng các quy luật tự nhiên. Qua đó, ông mặc nhiên thừa nhận tính chất của chúng là các sự vật; vì trong tự nhiên chỉ có các sự vật. Nhưng khi, vượt ra khỏi những sự khái quát triết học ấy, ông cố gắng áp dụng nguyên tắc của ông và từ nguyên tắc này phát triển nên ngành khoa học vốn được hàm ý trong nó, thì ông lại lấy chính những ý niệm làm đối tượng nghiên cứu. Trên thực tế, cái làm chất liệu chính cho xã hội học của ông đó là sự tiến bộ của nhân loại theo thời gian. Ông đi từ ý niệm rằng có một sự tiến hóa liên tục của giống loài người ở chỗ không ngừng hoàn thiện hơn bản tính người, và vấn đề mà ông xử lý là phát hiện ra trật tự của sự tiến hóa ấy. Thế nhưng, khi cho rằng sự tiến hóa ấy là có thực thì cái thực tại này chỉ có thể được xác lập một khi khoa học đã được hình thành; do đó, người ta chỉ có thể xem nó là đối tượng của công việc nghiên cứu khi nó được coi là một khái niệm trong đầu óc chứ không phải là một sự vật. Và thực vậy, đây là một biểu tượng hoàn toàn mang tính chủ quan đến mức, thật tình mà nói, sự tiến bộ này của nhân loại trên thực tế [được coi là] không tồn tại. Chỉ những xã hội đặc thù [trong quá trình] nảy sinh, phát triển và tiêu vong một cách độc lập với nhau mới có thể là đối tượng được quan sát. Nếu các xã hội gần đây nhất chỉ là sự tiếp nối các xã hội trước, thì mỗi một loại hình cao hơn có thể được coi là sự lặp lại đơn thuần loại hình kế cận thấp hơn, cộng thêm với việc thêm một cái gì đó vào nữa; do đó, người ta có thể đặt chúng theo trình tự nối tiếp nhau, có thể nói như vậy, bằng cách xếp những gì thuộc cùng một trình độ phát triển vào chung một loại, và cái chuỗi được tạo lập như vậy có thể được xem là đại diện cho nhân loại. Nhưng các sự kiện không thể hiện ra một cách quá giản đơn đến vậy. Một nhóm người này thay thế cho một nhóm người nọ không đơn giản là sự kéo dài của nhóm người sau với những tính chất mới nào đó; [trên thực tế,] cái chuỗi trình tự này lại hoàn toàn khác, có những thuộc tính được thêm vào và có những thuộc tính bị mất đi, nó cấu tạo nên một cá thể hoàn toàn mới và tất cả các cá thể khác nhau này, tức là những cá thể dị tính (hétérogènes), không thể bị hòa trộn thành một chuỗi liên tiếp, nhất là vào một chuỗi duy nhất. Vì sự tiếp diễn của các xã hội không thể được vẽ bằng một đường hình học; mà đúng hơn nó giống như một cái cây mà các nhánh đâm ra theo nhiều hướng khác nhau.

Tóm lại, Comte đã đồng nhất sự phát triển lịch sử với ý niệm của ông về nó và ý niệm này không khác mấy với ý niệm của người thường. Nhìn từ xa, thực vậy, lịch sử mang khá rõ cái phương diện tiếp diễn đơn giản ấy. Người ta chỉ thấy các cá nhân tiếp nối nhau và đi theo cùng một hướng bởi lẽ họ có cùng một bản tính như nhau. Vả lại, vì người ta không quan niệm rằng sự tiến hóa xã hội có thể sẽ là cái gì khác ngoài sự phát triển của ý niệm nào đó của con người, nên điều dường như hoàn toàn tự nhiên là phải định nghĩa sự tiến hóa ấy bằng ý niệm rằng con người được hình thành từ nó. Thế nhưng, làm như vậy, người ta không chỉ vẫn còn dừng lại trong ý hệ (idéologie), mà còn gán cho xã hội học một khái niệm không có chút gì gọi là xã hội học cả.

Ông Spencer gạt bỏ khái niệm này, nhưng là để thay thế nó bằng khái niệm khác vốn đã được hình thành theo một cách khác. Ông coi các xã hội, chứ không phải là nhân loại, là đối tượng của khoa học; thế nhưng ông lập tức đưa ra ngay từ đầu một định nghĩa làm cho sự vật mà ông nói tiêu tán đi để nhường chỗ cho cái tiền niệm của ông về xã hội. Thực vậy, ông nêu ra như là một mệnh đề hiển nhiên rằng “một xã hội chỉ tồn tại khi sự hợp tác được thêm vào theo kiểu đặt cạnh nhau”, chính bằng cách đó mà sự hợp nhất các cá nhân mới trở thành một xã hội theo đúng nghĩa của từ. Thế rồi, xuất phát từ nguyên lý rằng sự hợp tác là bản chất của đời sống xã hội, ông phân biệt các xã hội thành hai loại dựa theo bản tính của sự hợp tác đang ngự trị. Ông viết: “Có một sự hợp tác tự phát được thực hiện mà không có sự trù tính trong khi theo đuổi các mục đích riêng tư; cũng có một sự hợp tác được thiết lập một cách có ý thức đòi hỏi các mục đích của lợi ích chung phải được thừa nhận một cách rạch ròi.” Với loại trước ông gọi là các xã hội công nghiệp; với loại sau là các xã hội quân sự, và ta có thể nói về sự phân biệt ấy rằng nó là ý niệm gốc của xã hội học của ông. Nhưng định nghĩa khởi đầu này lại phát biểu cái vốn chỉ là một quan niệm ở trong đầu như là một sự vật. Trên thực tế, nó được trình bày như là sự diễn tả về một sự kiện có thể nhìn thấy trực tiếp, mà chỉ cần quan sát là ta có thể biết được, vì ngay từ buổi đầu của khoa học nó được phát biểu như là một tiên đề. Tuy nhiên, chỉ với sự kiểm tra đơn thuần thì người ta không thể nào thực sự biết được rằng sự hợp tác là cái toàn bộ của đời sống xã hội. Một sự khẳng định như thế chỉ chính đáng về mặt khoa học nếu người ta bắt đầu bằng việc kiểm tra cho thật kỹ lưỡng tất cả những biểu hiện của đời sống tập thể, và nếu người ta chỉ ra rằng những biểu hiện này là toàn bộ các hình thức khác nhau của sự hợp tác. Cho nên, đây vẫn còn là một phương cách quan niệm nào đó về thực tại xã hội đang thay thế cái thực tại ấy. Cái được định nghĩa như vậy không phải là xã hội, mà là ý niệm của ông Spencer về xã hội. Và nếu ông có tỏ ra không chút ngần ngại nào khi tiến hành cách làm như vậy, thì đó là vì: đối với ông, xã hội chỉ là và chỉ có thể là sự hiện thực hóa của một ý niệm, tức là chính từ ý niệm về sự hợp tác này mà ông định nghĩa xã hội. Người ta ắt sẽ dễ dàng chỉ ra rằng ông chỉ dùng mỗi một phương pháp cho từng vấn đề chuyên biệt của mình. Vì thế, cho dù ông có tỏ vẻ như đang tiến hành công việc một cách thường nghiệm, thì các sự kiện trong xã hội học dường như chỉ giữ vai trò là những chứng cứ, vì chúng được dùng để minh họa những lối phân tích về các ý niệm chứ không phải để mô tả và giải thích các sự vật. Quả thực, tất cả những gì là chính yếu trong học thuyết của ông có thể được rút ra trực tiếp từ việc ông định nghĩa về xã hội và về những hình thức khác nhau của sự hợp tác. Vì nếu như chúng ta chỉ có sự lựa chọn giữa một sự hợp tác được áp đặt một cách bạo ngược và một sự hợp tác tự do và tự phát, thì rõ ràng chính cái sau mới là cái lý tưởng mà nhân loại hướng đến và phải hướng đến.”

(Trích từ Émile Durkheim. 2012. Các quy tắc của phương pháp xã hội học. Đinh Hồng Phúc dịch. Nxb. Tri thức, Hà Nội, tr. 116-9)

SOCIAL LIFE