Chứng Minh Bằng Phương Pháp Quy Nạp Un=3N-4 / Top 10 # Xem Nhiều Nhất & Mới Nhất 2/2023 # Top View | Channuoithuy.edu.vn

Phương Pháp Chứng Minh Quy Nạp

Trong bài này, chúng ta tiếp tục tìm hiểu thêm và phương pháp quy nạp. Ngoài dạng quy nạp như đã biết ta còn một số dạng quy nạp khác như: Quy nạp mạnh, quy nạp bước nhảy, quy nạp lùi.

Quy nạp mạnh được phát biểu như sau: Để chứng minh mệnh đề $P(n)$ đúng với mọi số tự nhiên $n$, ta thực hiện theo hai bước sau:

Chứng minh $P(n)$ đúng với $n=1$.

Giả sử $P(n)$ đúng với $1, 2, cdots, n$. Chứng minh $P(n+1)$ đúng.

Ví dụ 1. Cho $x$ thỏa $x+dfrac{1}{x}$ là số nguyên. Chứng minh rằng $x^n+dfrac{1}{x^n}$ là số nguyên với mọi $n$.

Lời giải.

Ta có $x + dfrac{1}{x}$ là số nguyên đúng (theo giả thiết).

Giả sử $x^k + dfrac{1}{x^k}$ là số nguyên với mọi $k = overline{1,n}$. Ta cần chứng minh $x^{n+1} + dfrac{1}{x^{n+1}}$.

$(x^{n+1} + dfrac{1}{x^{n+1}} = (x+dfrac{1}{x})(x^n + dfrac{1}{n}) – (x^{n-1}+dfrac{1}{x^{n-1}})$.

Theo giả thiết quy nạp thì $x^{n+1} + dfrac{1}{x^{n+1}}$ là số nguyên.

Vậy ta có $x^n + dfrac{1}{x^n}$ là số nguyên với mọi $n$.

Dạng kế tiếp là Quy nạp bước nhảy được phát biểu như sau: Chứng minh mệnh đề $P(n)$ đúng với mọi $n$, ta làm như sau:

Chứng minh $P(1), P(2), cdots, P(k)$ đúng.

Giả sử $P(n)$ đúng. Ta chứng minh $P(n+k)$ đúng.

Ví dụ 2. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $M$ tồn tại số tự nhiên $n$ và cách chọn các dấu $+$ hoặc $-$ sao cho

$M = pm 1^2 pm 2^2 cdots pm n^2$.

Lời giải.

Khi $M = 1, 2, 3, 4$ ta có $1 = 1^2$, $2 = -1^2-2^2-3^2+4^2$, $3 = -1^2+2^2$ và $4 = 1^2-2^2-3^2+4^2$.

Giả sử đúng với $M$, tức là tồn tại $n$ thỏa $M = pm 1^2 pm 2^2 cdots pm n^2$, khi đó $M + 4 = pm 1^2 pm 2^2 cdots pm n^2 +(n+1)^2-(n+2)^2-(n+3)^2 + (n+4)^2$.

Ví dụ 3. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ thì phương trình $a^2 + b^2 = c^n$ luôn có nghiệm trong tập các số nguyên dương.

Lời giải.

Rõ ràng nếu $n=1, 2$ thì phương trình luông có nghiệm nguyên dương.

Giả sử phương trình có nghiệm nguyên dương là $a, b, c$ với $n$ nào đó, tức là $a^2 + b^2 = c^n$.

Khi đó với $n+2$ thì xét $(ac), (bc), c$: $(ac)^2+(bc)^2 = c^2 (a^2+b^2) = c^{n+2}$.

$(ac, bc, c$ là nghiệm.

Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi $n$.

Dạng kế tiếp là Quy nạp lùi được phát biểu như sau:

Chứng minh $P(a_i)$ đúng với dãy $(a_i)$ là dãy con tăng thực sự của tập các số tự nhiên.

Giả sử $P(n)$ đúng, chứng minh $P(n-1)$ đúng.

Ví dụ 4.

a) Hãy chỉ ra cách sắp 8 số nguyên dương đầu tiên 1, 2, …, 8 thành một dãy $a_1, a_2 ,…, a_8$ sao cho 2 số $a_i, a_j$ bất kì $(i < j)$ thì mọi số trong dãy nằm giữa $a_i$ và $a_j$ đều khác $dfrac{a_i + a_j}{2}$. b) Chứng minh rằng với $N$ số nguyên dương đầu tiên $1, 2, …, N$ luôn tìm được cách sắp thành dãy $a_1, a_2, …, a_N$ sao cho dãy thỏa mãn điều kiện như câu a).Lời giải.

a) Một cách xếp thỏa đề bài là 26481537. b)

Bước 1. Ta chứng minh bằng quy nạp với $n = 2^k$ thì luôn tồn tại một cách xếp thỏa đề bài.

Nếu $k = 1$, hiển nhiên đúng. Giả sử luôn tồn tại một cách xếp thỏa đề bài với $n = 2^k$, cách xếp đó là $a_1, a_2, …, a_n$. Ta chứng minh tồn tại một cách xếp với $n = 2^{k+1}$. Thật vậy xét hoán vị $(2a_1, 2a_2,…, 2a_n, 2a_1-1, 2a_2-1, …, 2a_n-1)$ là một hoán vị của $1, 2, …, 2^{k+1}$. Ta chứng minh hoán vị trên thỏa đề bài.

Ta có nếu $a_i, a_j in {2a_1, 2a_2, …, 2a_n}$ theo giả thiết quy nạp không có số nào nằm giữa $a_i, a_j$ bằng $dfrac{1}{2}(a_i+a_j)$.

Nếu $a_i in {2a_1, …, 2a_n}, a_j in {2a_1-1, 2a_2-1, …, 2a_n-1}$ thì $dfrac{1}{2}(a_i +a_j)$ không phải số nguyên.

Nếu $a_i, a_j in {2a_1-1, 2a_2-1, …, 2a_n-1}$ theo giả thiết quy nạp thì cũng có số nào nằm giữa $a_i, a_j$ bằng $dfrac{1}{2}(a_i + a_j)$.

Vậy bài toán đúng với $n = 2^k$.(1)Bước 2. Nếu bài toán đúng với $n$, ta chứng minh bài toán đúng với $n-1$.

Xét các số $a_1, a_2, …, a_n$ là một hoán vị thỏa đề bài của $1,2,…,n$.

Khi đó nếu xóa bất kì số nào trong các số $a_1, …, a_n$ thì dãy còn lại vẫn thỏa điều kiện. (2) Từ (1) và (2) ta có điều cần chứng minh.

Quy nạp lùi cũng là một trong những cách chứng minh bất đẳng thức Cauchy tổng quát: $dfrac{a_1+a_2 + cdots+a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2cdots a_n}$.

Bài tập rèn luyện.

Bài 1. Ta gọi tổng các số tự nhiên từ 1 đến n là số tam giác. Chứng minh rằng tồn tại vô hạn các số tam giác đồng thời là số chính phương.

Bài 2. (Chọn đội tuyển PTNK 2014) Tìm số nguyên dương $n$ lớn nhất thỏa mãn các điều kiện sau:

$n$ không chia hết cho 3;

Bảng vuông $n times n$ ô không thể được phủ kín bằng 1 quân tetramino $1 times 4$ và các quân trimino kích thước $1 times 3$. Trong phép phủ các quân tetramino và trimino được phép quay dọc nhưng không được phép chườm lên nhau hoặc nằm ngoài ra bảng vuông.

Bài 3. Có $n$ số tự nhiên từ 1 đến $n$ được viết thành một dòng theo một thứ tự nào đó. Mỗi bước thực hiện biến đổi như sau: nếu số đầu tiên là $k$ thì $k$ số đầu tiên sẽ được viết theo thứ tự ngược lại. Chứng minh rằng sau hữu hạn bước thì số đầu tiên của dòng là số 1.

Bài 4. Trong cuộc họp có $2n$ ($n geq 2$) người, một số người bắt tay nhau và người ta đếm được có $n^2+1$ cái bắt tay. Chứng minh rằng có $n$ bộ ba, mà mỗi bộ ba đôi một bắt tay nhau.

Bài 5. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ tồn tại các số nguyên $x, y, z$ phân biệt sao cho $x^2+y^2+z^2 = 14^n$.

Bài 6. Trong một giải đấu tennis có 10 người tham dự, hai đối thủ gặp nhau đúng một trận. Chứng minh rằng, sau khi kết thúc giải có thể sắp xếp các tay vợt thành một hàng mà người đứng trước thắng người đứng sau.

Bài Tập Chứng Minh Quy Nạp

PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC :

I. Chứng minh rằng ta luôn có các đẳng thức sau : 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. II. Chứng minh rằng ta luôn có : 1. chia hết cho 3 2. chia hết cho 6 3. chia hết cho 6 4. chia hết cho 5 5. chia hết cho 3 6. chia hết cho 225 7. chia hết cho 9 8. chia hết cho 27 9. chia hết cho 11 10. chia hết cho 5 11. chia hết cho 19 12. chia hết cho 24 13. chia hết cho 64 14. chia hết cho 35 15. chia hết cho 25 16. chia hết cho 23 17. chia hết cho 918. chia hết cho 64 19. chia hết cho 2420. chia hết cho 621. chia hết cho 133III. Cho số thực Chứng minh rằng ta luôn có : 1. 2. IV. Cho số thực Chứng minh rắng : , V. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có bđt : 1. 2. 3. VI. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương ta luôn có :

VII. Cho n là một số nguyên lớn hơn 1. Hãy chứng minh bđt :

IX. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên ta luôn có đẳng thức :

X. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên ta có :

XI. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên ta có : 1. 2. XII. Chứng minh rằng với mọi số nguyên thì : chia hết cho 169XIII. 1. Tính tổng : 2. Tính tổng : BÀI TẬP VỀ DÃY SỐ :

I. Tìm 5 số hạng đầu tiên của mỗi dãy số sau : 1. Dãy số với 2. Dãy số với 3. Dãy số với II. Tìm 6 số hạng đầu tiên của mỗi dãy số sau :Dãy số với Dãy số với III. Cho dãy số với Hãy điền các số thích hợp vào các ô trống sau đây :

un

IV. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hàm số có đồ thị (C).Với mỗi số nguyên dương n, gọi là giao điểm của (C) với đường thẳng d : Xét dãy số với là tung độ của điểm Hãy tìm công thức xác định công thức tổng quát của dãy số đó .V. Hãy xét tính đơn điệu của các dãy số sau : 1. Dãy số với 2. Dãy số với 3. Dãy số với 4. Dãy số với 5. Dãy số với 6. Dãy số với 7. Dãy số với 8. Dãy số với VI. Xác định số thực a để dãy số với là :Một dãy số tăng . 2. Một dãy số giảm.VII. Chứng minh rằng : dãy số với là một dãy số bị chặn.VIII. CMR : dãy số với là một dãy số tăng và bị chặn.IX. Cho dãy số với Hãy tính : , , , Dự đoán công thức của số hạng tổng quát và chứng minh công

Chứng Minh Định Lý Bằng Phương Pháp Phản Chứng

Mệnh đề là một câu khẳng định đúng hoặc câu khẳng định sai. Câu khẳng định đúng gọi là mệnh đề đúng, câu khẳng định sai gọi là mệnh đề sai. Một mệnh đề không thể vừa có tính đúng, vừa có tính sai.

Ví dụ:

2+2=4 là một mệnh đề đúng

2+2= -5 là một đề sai

Ôi! Trời hôm nay nóng quá! Đây không phải là mệnh đề.

Mệnh đề phủ định

Cho mệnh đề P. Mệnh đề “không phải P” được gọi là mệnh đề phủ định của mệnh đề P.

Kí hiệu: $overline{P}$

Nếu mênh đề P đúng thì mệnh đề $overline{P}$ sai và ngược lại nếu mệnh đề $overline{P}$ đúng thì mệnh đề P sai.

Mệnh đề với mọi ($forall$) và tồn tại ($exists$)

Đây là hai mệnh đề phủ định của nhau. Rất nhiều học sinh không biết tìm mệnh đề phủ định của hai mệnh đề này. Ở đây thầy sẽ giúp các bạn phân biệt hai mệnh đề này và tìm mệnh đề phủ định của chúng. Bởi hai mệnh đề này được sử dụng rất nhiều trong các bài toán áp dụng chứng minh phải chứng.

Nếu cho mệnh đề “$forall xin X,P(x)$” thì phủ định của nó sẽ là: “$exists xin X, overline{P(x)}”$

Nếu cho mệnh đề “$exists xin X,P(x)$” thì phủ định của nó sẽ là: “$forall xin X, overline{P(x)}”$

Ví dụ:

Nếu có mệnh đề “Có ít nhất một chuồng chứa nhiều hơn 4 con thỏ.”

Thì phủ định của nó sẽ là: “Tất cả các chuồng chứa ít hơn hoặc bằng 4 con thỏ.”

Như vậy thầy đã nói qua về một số khái niệm sẽ dùng tới trong quá trình chứng minh định lý bằng phương pháp phản chứng. Các bạn cần chú ý kĩ tới mệnh đề phủ định, mệnh đề với mọi và tồn tại cho thầy, bởi chúng sẽ được sử dụng rất nhiều trong quá trình chứng minh. Lý thuyết là như vậy đó, quan trọng là vận dụng ra sao trong việc giải quyết bài toán chứng minh phản chứng.

Phương pháp chứng minh phản chứng

Các bạn cần xác định được đúng mệnh đề P, mệnh đề Q. Từ đó tìm mệnh đề phủ định của Q là $overline{Q}$.

Các bạn làm như sau:

Các bạn xác định mệnh đề P, Q và $overline{Q}$

Giả sử mệnh đề Q sai, tức là mệnh đề $overline{Q}$ sẽ đúng.

Lập luận và sử dụng những điều đã biết để đi tới mâu thuẫn với giả thiết hoặc đi tới điều vô lý.

Từ đó đi tới kết luận.

Bài tập 1:Chứng minh rằng: Với mọi số tự nhiên n nếu $n^2$ là số chẵn thì n là số chẵn.

Hướng dẫn:

Trước tiên các bạn xác định cho thầy các mệnh đề P, Q và $overline{Q}$

Giả sử n là số lẻ, thì $n=2k+1, kin N$

Khi đó: $n^2=(2k+1)^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1$ là số lẻ. Mâu thuẫn với giả thiết $n^2$ là số chẵn. Suy ra điều giả sử sai.

Vậy: Với mọi số tự nhiên n nếu $n^2$ là số chẵn thì n là số chẵn.

Hướng dẫn:

Mệnh đề P, Q và $overline{Q}$ là:

Giả sử: $x+y+xy =-1 Leftrightarrow x+y+xy+1=0$

$ Leftrightarrow (x+1)+y(x+1)=0$

$Leftrightarrow (x+1)(y+1)=0$

$Leftrightarrow $ $x=-1$ hoặc $y=-1$.

Mâu thuẫn với giả thiết là $xneq -1$ và $yneq -1$.

Vậy : Nếu $xneq -1$ $yneq -1$ thì $x+y+xyneq -1$

Bài tập 3: Chứng minh rằng nếu nhốt 25 con thỏ vào 6 cái chuồng thì sẽ có ít nhất 1 chuồng chứa nhiều hơn 4 con thỏ.

Hướng dẫn:

Mệnh đề P, Q và $overline{Q}$ là:

P: Nhốt 25 con thỏ vào 6 chuồng

Q: Ít nhất 1 chuồng chứa nhiều hơn 4 con thỏ

$overline{Q}$: Tất cả các chuồng chứa ít hơn hoặc bằng 4 con thỏ.

Giả sử tất cả các chuồng chứa ít hơn hoặc bằng 4 con thỏ. Khi đó số thỏ sẽ có tối đa là 4.6=24 con, mâu thuẫn với giả thiết là số thỏ có 25 con.

Vậy nếu nhốt 25 con thỏ vào 6 cái chuồng thì sẽ có ít nhất 1 chuồng chứa nhiều hơn 4 con thỏ.

Bài tập 4: Chứng minh rằng có ít nhất 1 trong các bất đẳng thức sau là đúng: $a^2+b^2geq 2bc, b^2+c^2geq 2ac, a^2+c^2geq 2ab$ với a, b, c bất kì.

Hướng dẫn:

Mệnh đề P, Q và $overline{Q}$ là:

P: 3 số a, b, c bất kì

Q: ít nhất 1 trong 3 đắng thức là đúng $a^2+b^2geq 2bc, b^2+c^2geq 2ac, a^2+c^2geq 2ab$

$overline{Q}$: Tất cả các bất đẳng thức đều sai.

Giả sử tất cả các bất đẳng thức trên đều sai, tức là:

$a^2+b^2 < 2bc$ (1)

$ b^2+c^2 < 2ac$ (2)

$ a^2+c^2 < 2ab$ (3)

Cộng 2 vế của (1), (2), (3) ta được:

$a^2+b^2+b^2+c^2+a^2+c^2<2bc+2ac+2ab$

$Leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2<0$ (vô lý). Do đó điều giả sử sai.

Vậy: Với a, b, c bất kì sẽ có ít nhất 1 trong các bất đẳng thức sau là đúng: $a^2+b^2geq 2bc$,$b^2+c^2geq 2ac, a^2+c^2geq 2ab$.

Bài tập chứng minh phản chứng:

Bài tập 1: Chứng minh rằng:

a. Với mọi số nguyên dương n, nếu $n^2$ là số lẻ thì n là số lẻ.

b. Với mọi số nguyên dương n, nếu $n^2$ chia hết cho 3 thì n chia hết cho 3.

c. Với 2 số dương a và b thì $a+bgeq 2sqrt{ab}$.

d. Nếu $a+b<2$ thì một trong 2 số a và b nhỏ hơn 1

Bài tập 2: Chứng minh rằng:

a. Một tam giác không phải là tam giác đều thì nó có ít nhất 1 góc nhỏ hơn $60^0$

b. Nếu tích của hai số tự nhiên là một số lẻ thì tổng của chúng là một số chẵn.

c. Nếu $x^2+y^2=0$ thì $x=0$ và $y=0$

d. Nếu một tứ giác có tổng các góc đối diện bằng hai góc vuông thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.

SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ

Bài 1,2,3,4,5 Trang 82,83 Sgk Đại Số Và Giải Tích 11: Phương Pháp Quy Nạp Toán Học

Tóm tắt lý thuyết và Giải bài 1,2,3 trang 82; Bài 4,5 trang 83 SGK đại số và giải tích 11: Phương pháp quy nạp toán học. Đây là bài đầu tiên Chương 3 Đại số và giải tích lớp 11: Dãy số – cấp số cộng cấp số nhân.

A. Tóm tắt lý thuyết

1. Để chứng minh một mệnh đề P(n) là đúng với mọi n ∈ N*, ta thường dùng phương pháp quy nạp toán học, được tiến hành theo hai bước như sau:

Bước 1 (bước cơ sở): Kiểm tra mệnh đề P(n) đúng với n = 1.

Bước 2 ( bước quy nạp): Giả thiết mệnh đề P(n) đúng với một số tự nhiên bất kì n = k, (k ≥ 1) (ta gọi là giả thiết quy nạp) và chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.

Khi đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, ta kết luận mệnh đề P(n) đùng với mọi n ∈ N*

2. Trong trường hợp phải chứng minh một mệnh đề P(n) lf đúng vơi mọi số tự nhiên n ≥ p (p là số tự nhiên) thì:

– Ở bước 1, ta kiểm tra mệnh đề P(n) đúng với n = p.

Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề P(n) đúng với một số tự nhiên bất kì n = k, (k ≥ p) và chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.

3. Phép thử với một số hữu hạn số tự nhiên tuy không phải là chứng minh nhưng cho phép ta dự đoán được kết quả. Kết quả này chỉ là giá thuyết và để chứng minh ta có thể dùng phương pháp quy nạp toán học.

Một số bài toán thường gặp

– Chứng minh các đẳng thức, bất đẳng thức.

– Dự đoán kết quả và chứng minh.

B. Giải bài tập sách giáo khoa bài phương pháp quy nạp toán học – Sách giáo khoa đại số giải tích lớp 11 trang 82,83

Bài 1. Chứng minh rằng với n ∈ N*, ta có đẳng thức:

Vậy VT = VP hệ thức a) đúng với n = 1.

Đặt vế trái bằng S n.

(điều phải chứng minh)

Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức a) đúng với mọi n ∈ N*

b) Với n = 1, vế trái bằng 1/2, vế phải bằng 1/2, do đó hệ thức đúng.

Đặt vế trái bằng S n.

Giả sử hệ thức b) đúng với n = k ≥ 1, tức là

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có:

Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức b) đúng với mọi n ∈ N*

c) Với n = 1, vế trái bằng 1, vế phải bằng 1(1+1)(2+1) / 6 = 1 nên hệ thức c) đúng với n = 1.

Đặt vế trái bằng S n.

Ta phải chứng minh

Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức c) đúng với mọi n ∈ N*

Bài 2. Chứng minh rằng với n ε N* ta luôn có:

a) n 3 + 3n 2 + 5n chia hết cho 3;

b) 4 n + 15n – 1 chia hết cho 9;

c) n 3 + 11n chia hết cho 6.

Với n = 1 thì S 1 = 9 chia hết cho 3

Giả sử với n = k ≥ 1, ta có S k = (k 3 + 3k 2 + 5k) ⋮ 3

Ta phải chứng minh rằng S k+1 ⋮ 3

Theo giả thiết quy nạp thì S k⋮3, mặt khác 3(k 2 + 3k + 3) ⋮3 nên S k+1 ⋮ 3.

Giả sử với n = k ≥ 1 thì S k= 4 k + 15k – 1 chia hết cho 9.

Ta phải chứng minh S k+1 ⋮ 9.

Thật vậy, ta có: S k+1 = 4 k + 1 + 15(k + 1) – 1

= 4(4 k + 15k – 1) – 45k + 18 = 4S k – 9(5k – 2)

Theo giả thiết quy nạp thì Sk ⋮ 9 nên 4S 1 ⋮ 9, mặt khác 9(5k – 2) ⋮ 9, nên S k+1 ⋮ 9

Vậy (4 n + 15n – 1) ⋮ 9 với mọi n ∈ N*

Với n = 1, ta có S 1 = 1 3 + 11n = 12 nên S 1 ⋮ 6

Giả sử với n = k ≥ 1 ,ta có S k = k 3 + 11k ⋮ 6

Ta phải chứng minh S k+1 ⋮ 6

Thật vậy, ta có S k+1 = (k + 1)3 + 11(k + 1) = k 3 + 3k + 3k + 1 + 11k + 11

THeo giả thiết quy nạp thì Sk ⋮ 6, mặt khác k 2 + k + 4 = k(k + 1) + 1 là số chẵn nên 3(k 2 + k + 4) ⋮ 6, do đó S k+1 ⋮ 6

Vậy n 3 + 11n chia hết cho 6 với mọi n ∈ N*

Bài 3 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta có các bất đẳng thức:

Đáp án: a) Dễ thấy bất đẳng thức đúng với n = 2

Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 2, tức là

Nhân hai vế của (1) vơi 3, ta được:

tức là bất đẳng thức đúng với n = k + 1.

b) Với n = 2 thì vế trái bằng 8, vế phải bằng 7. Vậy bất đẳng thức đúng với n = 2

Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 2, tức là

Ta phải chứng minh nó cũng đúng với n= k + 1, nghĩa là phải chứng minh

Nhân hai vế của bất đẳng thức (2) với 2, ta được:

b) Dự đoán công thức tính tổng S n và chứng minh bằng quy nạp.

Giải: a) Ta có:

Ta sẽ chứng minh đẳng thức (1) bằng phương pháp quy nạp

Khi n = 1, vế trái là S1 =1/2, vế phải bằng 1/(1+1)=1/2. Vậy đẳng thức (1) đúng.

tức là đẳng thức (1) cũng đúng với n = k + 1.

Vậy đẳng thức (1) đã được chứng minh.

Giải: Ta chứng minh khẳng định đúng với mọi n ∈ N* , n ≥ 4.

Với n = 4, ta có tứ giác nên nó có hai đường chéo.

Mặt khác thay n = 4 vào công thức, ta có số đường chéo của tứ giác theo công thức là: 4(4-3)/2 = 2

Vậy khẳng định là đúng với n= 4.

Giả sử khẳng định là đúng với n = k ≥ 4, tức là đa giác lồi k cạnh có số đường chéo là k(k – 3)/2

Nối A 1 và A k, ta được đa giác k cạnh A 1A 2…A k có k(k-3)/2 đường chéo (giả thiết quy nạp). Nối A k+1 với các đỉnh A 2, A 3, …, A k-1, ta được thêm k -2 đường chéo, ngoài ra A 1A k cũng là một đường chéo.

Như vậy, khẳng định cũng đúng với đa giác k + 1 cạnh. Vậy bài toán đã được chứng minh.