Xu Hướng 2/2023 # Giải Đáp Toán Học: Tổ Hợp, Chỉnh Hợp, Hoán Vị Là Gì? # Top 3 View | Channuoithuy.edu.vn

Xu Hướng 2/2023 # Giải Đáp Toán Học: Tổ Hợp, Chỉnh Hợp, Hoán Vị Là Gì? # Top 3 View

Bạn đang xem bài viết Giải Đáp Toán Học: Tổ Hợp, Chỉnh Hợp, Hoán Vị Là Gì? được cập nhật mới nhất trên website Channuoithuy.edu.vn. Hy vọng những thông tin mà chúng tôi đã chia sẻ là hữu ích với bạn. Nếu nội dung hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất.

Tổ hợp là gì?

Trong Toán học, tổ hợp là cách chọn những phần tử chứa từ một nhóm lớn hơn mà không phân biệt thứ tự.

Ví dụ: Có ba loại quả đó là một quả táo, một quả cam và một quả lê. Từ đây ta sẽ có ba cách để kết hợp hai loại quả từ tập hợp này như sau: một quả táo và một quả cam, một quả cam và một quả lê, một quả lê và một quả táo. 

Theo định nghĩa, tổ hợp chập k của n phần tử chính là một tập hợp con của tập hợp mẹ S bao gồm n phần tử. Tập hợp con này sẽ gồm k phần tử riêng biệt thuộc S và không sắp thứ tự. Số tổ hợp chập k của n phần tử sẽ bằng với hệ số nhị thức.

Công thức trên có thể được viết dưới dạng giai thừa:

Trong đó: 

Các tổ hợp có thể là tổ chập bao gồm k các phần tử khác nhau lấy từ n phần tử có sự lặp lại hoặc không lặp lại. 

Chỉnh hợp là gì?

Trong Toán học thì chỉnh hợp là cách chọn những phần tử từ một nhóm nào đó lớn hơn và có phân biệt thứ tự. Nó khác với tổ hợp là không phân biệt thứ tự.

Theo khái niệm, chỉnh hợp chập k của n phần tử là một tập con của tập hợp mẹ S chứa n phần tử. Tập con này gồm k phần tử riêng biệt thuộc S và có sắp xếp theo thứ tự. 

Số chỉnh hợp chập k của một tập S thường được tính theo công thức sau: 

Ví dụ: Với tập hợp E = {a,b,c,d}. Chỉnh hợp chập 3 của 4 phần tử trong E sẽ là:

Trong Tiếng Việt, chỉnh hợp được ký hiệu bằng chữ A, đây là viết tắt của “Arrangement”.

Hoán vị là gì?

Cho tập hợp A gồm có n phần tử (n ≥ 1). Mỗi kết quả của việc sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A sẽ được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.

Công thức hoàn vị:

Ký hiệu hoán vị của n phần tử là: Pn.

Phân biệt tổ hợp chỉnh hợp

Để phân biệt tổ hợp và chỉnh hợp ta có thể dựa vào định nghĩa của hai thuật ngữ này. 

Đối với chỉnh hợp:

Trong n phần tử của tập hợp A ta sẽ lấy ra k phần tử. Trong k phần tử đã lấy ra này ta sắp xếp chúng theo một thứ tự và mỗi cách sắp xếp như vậy ta sẽ được một chỉnh hợp. Ví dụ ta lấy ra 3 số là 1, 2, 3 sau đó từ 3 số này ta lại sắp xếp thành các số có 3 chữ số. Như vậy ta sẽ có các số như sau: 123, 132, 312, 321, 213, 231. Qua đây bạn có thể nhận thấy với việc thay đổi vị trí ra đã có được 6 số khác nhau và mỗi số đó lại là 1 chỉnh hợp.

Đối với tổ hợp

Tròn n phần tử của tập hợp A ta lấy ra một tập con gồm k phần tử. Khi nói đến khái niệm tổ hợp ta sẽ không phân biệt vị trí hay thứ tự của các phần tử trong đó, mà chúng ta chỉ quan tâm xem trong tập đó có bao nhiêu phần tử thôi. Mỗi cách ta sẽ lấy ra một tập con gồm k phần tử cứu như vậy ta thu được một tổ hợp.

Ví dụ: Ta lấy ra 3 phần tử là các số: 1, 2, 3. Sau đó các số này ta sẽ đặt vào các vị trí khác nhau trong tập con. Từ đó, ta thu được các tập con là: A = {1; 2; 3}; B = {1; 2; 3}; C = {2; 2; 3}; D = {2; 3; 1}; E = {3; 1; 2}; F = {3; 2; 1}.

Qua đây các bạn sẽ thấy chúng ta thu về được 6 tập con là A, B, C, D, E, F thế nhưng các phần tử vẫn là 1, 2, 3. Vậy nên 6 tập con ở trên là bằng nhau hay nói đơn giản thì chúng là một. 

Các dạng bài tập của tổ hợp, chỉnh hợp, hoán vị

Các dạng bài tập phổ biến của tổ hợp, chỉnh hợp, hoán vị đó là:

Dạng 1 là bài toán đếm

Dạng 2 là xếp vị trí – cách chọn và phân công công việc

Hoán Vị, Chỉnh Hợp Và Tổ Hợp: Công Thức Và Các Dạng Chi Tiết

Ở trên ta đã có định nghĩa của một hoán vị. Vậy câu hỏi tự nhiên đặt ra là có bao nhiêu hoán vị? Chúng ta có thể dễ dàng trả lời câu hỏi đó bằng cách áp dụng quy tắc nhân.

Giả sử ta có n vị trí đánh số từ 1 tới n. Để được 1 hoán vị của n phần tử đã cho, ta xếp từng phần tử lần lượt vào các vị trí từ 1 đến n. Xếp vào vị trí thứ 1 có n cách. Xếp vào vị trí thứ 2 có n-1 cách (vì 1 phần tử đã xếp vào vị trí thứ 1 rồi). Cứ như vậy đến hết. Vậy số hoán vị của n phần tử đã cho là

Xét ví dụ sau: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 9 chữ số sao cho chữ số 1 xuất hiện đúng một lần, chữ số 2 xuất hiện đúng ba lần, chữ số 3 xuất hiện đúng 2 lần, chữ số 4 xuất hiện đúng 3 lần?

Khi đó số 122233444 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Nếu ở số trên mà ta hoán vị 2 chữ số 3 chẳng hạn thì số không đổi. Do đó vẫn là 1 số thỏa mãn yêu cầu bài toán mà thôi. Dạng bài toán tương tự như ví dụ trên gọi là hoán vị lặp.

Vậy đếm số hoán vị lặp như thế nào?

Giả sử một tập hợp có k phần tử được đánh số từ 1 đến k. Một cách sắp xếp k phần tử đó sao cho phần tử thứ i (1≤i≤k) xuất hiện n(i) lần và n(1)+n(2)+…+n(k)=n được gọi là một hoán vị lặp của k phần tử. Số hoán vị lặp là

Ví dụ ta có tập hợp 7 viên ngọc rồng đánh số từ 1 đến 7. Một tổ hợp chập 3 của 7 được minh họa như hình.

Để dễ dàng phân biệt tổ hợp và chỉnh hợp ta quay lại ví dụ 7 viên ngọc rồng ở phần trên. Ở đây lấy ra 3 viên ngọc và sắp theo thứ tự từ trái qua phải. Một chỉnh hợp chập 3 của 7 được minh họa như hình.

Số chỉnh hợp chập k của n: Để đếm số tổ hợp chập k của n ta giả sử có k vị trí đánh số từ 1 đến k. Lấy lần lượt các phần tử xếp vào các vị trí. Mỗi vị trí 1 phần tử ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử. Lấy một phần tử xếp vào vị trí thứ nhất có n cách. Lấy tiếp 1 phần tử xếp vào vị trí số 2 có n-1 cách…cứ như vậy đến phần tử thứ k có n-k+1 cách. Vậy số chỉnh hợp chập k của n là

Theo các định nghĩa bên trên ta có thể thấy tổ hợp chỉnh hợp hoán vị có mối liên hệ với nhau. Cụ thể một chỉnh hợp chập k của n được tạo thành bằng cách thực hiện 2 bước. Bước 1 là lấy 1 tổ hợp chập k của n phần tử. Bước 2 là hoán vị k phần tử đó. Vì vậy ta có công thức liên hệ giữa chỉnh hợp tổ hợp hoán vị như sau:

Chỉnh Hợp Và Tổ Hợp

Tổ hợp. Mỗi bộ gồm $ k$ phần tử không phân biệt thứ tự được lấy ra từ $ n$ phần tử cho trước được gọi là một tổ hợp chập $ k$ của $ n$ phần tử. Số tổ hợp chập $ k$ của $ n$ phần tử được ký hiệu là $ C_{n}^{k}$ và được tính theo công thức  

$ C_{n}^{k}=frac{n!}{k!left( n-k right)!}.$

  Ví dụ 1.  Một lớp học gồm có 10 học sinh và cần chọn ra 3 bạn để đi lao động đầu năm. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?

Giải. Đây là bài toán chọn 3 người trong 10 người, và mỗi bộ ba được chọn không phân biệt thứ tự. Do đó số cách chọn cũng chính là số tổ hợp chập $ 3$ của $ 10$ phần tử

$ C_{10}^{3}=frac{10!}{3!left( 10-3 right)!}=120.$

  Chú ý 1. Giả sử đã chọn được ba bạn là A, B, C. Vì đối với tổ hợp là không phân biệt thứ tự nên các bộ gồm ba phần tử ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA là một, vì thực ra 6 bộ này cũng cùng là một chuyện 3 bạn A, B và C đi lao động mà thôi.   Chỉnh hợp. Mỗi bộ gồm $ k$ phần tử có phân biệt thứ tự được lấy ra từ $ n$ phần tử cho trước được gọi là một chỉnh hợp chập $ k$ của $ n$ phần tử. Số chỉnh hợp chập $ k$ của $ n$ phần tử được ký hiệu là $ A_{n}^{k}$ và được tính theo công thức  

$ A_{n}^{k}=frac{n!}{left( n-k right)!}.$

  Ví dụ 2. Một lớp học có 10 học sinh và cần chọn ra 3 bạn để bầu ban cán sự lớp: lớp trưởng, lớp phó và bí thư. Hỏi có bao nhiêu cách ?

 Giải. Đây là bài toán chọn 3 người trong 10 người, và khi đã chọn xong rồi ta lại bầu 3 bạn được chọn này vào 3 vị trí cán sự khác nhau. Như vậy các bộ ba này là các bộ ba có phân biệt thứ tự. Do đó số cách chọn chính là số chỉnh hợp chập $ 3$ của $ 10$ phần tử

$ A_{10}^{3}=frac{10!}{left( 10-3 right)!}=720.$

  Chú ý 2. Giả sử đã chọn được ba bạn là A, B, C. Nhưng nhớ rằng 6 trường hợp sau đây là hoàn toàn khác nhau  

Điều này làm nên sự khác biệt ở hai kết quả của Ví dụ 1 và Ví dụ 2.   Chú ý 3. Như vậy chỉnh hợp và tổ hợp giống nhau ở chỗ cùng là các bộ gồm $ k$ phần tử được chọn ra từ $ n$ phần thử cho trước. Tuy nhiên, điểm khác nhau ở đây là tổ hợp là các bộ không phân biệt thứ tự, còn chỉnh hợp là các bộ có phân biệt thứ tự. Theo định nghĩa ta có

$ frac{A_{n}^{k}}{C_{n}^{k}}=k!$

  Như vậy số chỉnh hợp nhiều hơn số tổ hợp $ k!$ lần.   Bài toán lựa chọn. Một lô hàng có $ N$ sản phẩm, trong đó có $ {{N}_{A}}$ sản phẩm loại $ A$. Ta rút ngẫu nhiên từ lô hàng $ n$ sản phẩm. Yêu cầu đặt ra là trong $ n$ sản phẩm được rút ra có đúng $ k$ sản phẩm loại $ A$. Có bao nhiêu cách rút thỏa mãn yêu cầu ?  

Giải. Từ giả thiết suy ra trong lô hàng có $ N-{{N}_{A}}$ sản phẩm loại khác và số sản phẩm loại khác được rút ra là $ n-k$ sản phẩm.

Bước 1: Rút $ k$ sản phẩm từ $ {{N}_{A}}$ sản phẩm loại $ A$: có $ C_{{{N}_{A}}}^{k}$ cách rút;

Bước 2: Sau khi đã thực hiện bước 1, ta rút $ n-k$ sản phẩm trong $ N-{{N}_{A}}$ sản phẩm loại khác: có $ C_{N-{{N}_{A}}}^{n-k}$ cách.

Theo quy tắc nhân ta có $ C_{{{N}_{A}}}^{k}C_{N-{{N}_{A}}}^{n-k}$ cách rút thỏa mãn yêu cầu đề bài.

  Ví dụ 3. Một hộp gồm có 10 viên bi, trong đó có 6 bi đỏ và 4 bi trắng. Rút ngẫu nhiên từ mỗi hộp 3 bi sao cho có đúng 2 bi đỏ. Hỏi có bao nhiêu cách rút như vậy ?

Giải. Ta áp dụng bài toán lựa chọn cho $ N=10,{{N}_{A}}=6,n=3,k=2,$ ta được số cách rút là $ C_{6}^{2}C_{4}^{1}=60$.

  Hai tính chất của tổ hợp

$ begin{array}{l}left( i right),,,,C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k};\left( ii right),,,C_{n}^{k}+C_{n}^{k+1}=C_{n+1}^{k+1}.end{array}$

Chứng minh. Ta có

$ C_{n}^{n-k}=frac{n!}{left( n-k right)!left[ n-left( n-k right) right]!}=frac{n!}{left( n-k right)!k!}=C_{n}^{k}.$ 

Như vậy ta đã có $ left( i right).$ Biến đổi vế trái của $ left( ii right)$, ta cũng có

$ begin{array}{l}C_{n}^{k}+C_{n}^{k+1}=frac{n!}{k!left( n-k right)!}+frac{n!}{left( k+1 right)!left( n-k-1 right)!}\,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,=frac{n!left( k+1 right)+n!left( n-k right)}{left( k+1 right)!left( n-k right)!}=frac{n!left( n+1 right)}{left( k+1 right)!left( n-k+1 right)!}\,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,=frac{left( n+1 right)!}{left( k+1 right)!left( n-k right)!}=C_{n+1}^{k+1}.end{array}$$

 Vậy ta đã có $ left( ii right)$.

Bài tập 

(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)

Hoán Vị Gen Là Gì? Đặc Điểm, Ý Nghĩa Của Hoán Vị Gen

Hoán vị gen là gì? Tìm hiểu cơ sở tế bào học của hoán vị gen

Hoán vị gen là gì?

Có thể hiểu, hoán vị gen là hiện tượng đổi chỗ cho nhau của các gen tương ứng trên một cặp nhiễm sắc thể đồng dạng. Vậy hoán vị gen xảy ra ở kì nào? Quá trình này xảy ra ở thời kì đầu của giai đoạn giảm phân lần thứ nhất.

Sau khi hoán vị gen kết thúc, số giao tử và sự biến dị tổ hợp sẽ tăng lên. Tuy nhiên, chúng ta cũng cần phân biệt để tránh nhầm lẫn giữa hoán vị gen là hiện tượng chuyển đoạn nhiễm sắc thể. Bởi chuyển đoạn NST là hiện tượng đột biến cấu trúc NST dẫn tới những hậu quả có hại cho các loài sinh vật.

Tìm hiểu cơ sở tế bào học của hoán vị gen

Cơ sở tế bào học của hoán vị gen là sự tiếp xúc trao đổi chéo giữa 2 crômatit và 2 cromatit này phải không có quan hệ với nhau trong cặp NST tương đồng. Quá trình này diễn ra ở kì đầu giảm phân lần đầu. Nhờ đó, 2 gen alen có thể hoán đổi vị trí với nhau và tạo thành quá trình hoán vị gen.

Chúng ta cũng cần phân biệt giữa hoán vị gen và tái tổ hợp gen. Khác với hoán vị gen, cơ sở tế bào học của tái tổ hợp gen là sự trao đổi chéo giữa những đoạn tương ứng của cặp nhiễm sắc thể tương đồng. Từ đó dẫn đến sự hoán vị các gen alen và tạo ra sự tổ hợp lại các gen không alen. Chính việc tạo ra các tổ hợp gen không alen này đã tạo nên sự khác biệt giữa hai khái niệm.

Tần số và di truyền liên kết hoàn toàn

Tần số hoán vị gen

Nhắc tới hoán vị gen, chắc chắn không thể bỏ qua tần số hoán vị. Vậy tần số hoán vị gen là gì? Tần số hoán vị là tỉ lệ % số cá thể có thể tái tổ hợp lại với nhau hay có thể hiểu là % các giao tử mang gen có thể hoán vị.

Tần số hoán vị gen được tính theo công thức: (frac{SCTTTHtimes 100 }{TSCTDC})

Trong đó:

SCTTTH là số cá thể tái tổ hợp

TSCTDC là tổng số cá thể đời con

Tần số hoán vị gen cho biết điều gì? Theo nghiên cứu, tần số này cho biết 3 đặc điểm của hoán vị gen, đó là:

Phản ánh khoảng cách giữa 2 gen không alen ở trên cùng một nhiễm sắc thể. Nếu khoảng cách càng lớn thì lực liên kết sẽ càng nhỏ. Do vậy, tần số hoán vị cũng sẽ cao hơn.

Tần số hoán vị gen thường dao động từ 0 – 50%. Với 2 gen càng gần nhau thì tần số sẽ càng nhỏ.

Hoán vị gen thường nhỏ hơn 50 vì hiện tượng hiện tượng trao đổi chéo để gây ra hiện tượng hoán vị gen sẽ chỉ xảy ra giữa 2 crômatit trên tổng số tất cả 4 crômatit.

Di truyền liên kết hoàn toàn

Hoán vị gen hay còn được biết tới với tên gọi là sự di truyền liên kết không hoàn toàn. Chúng ta cần nắm rõ 2 cách gọi này để tránh nhầm lẫn với di truyền liên kết hoàn toàn. Vậy cơ sở tế bào học của sự liên kết hoàn toàn làgì? Liên kết hoàn toàn hay còn được biết tới là quá trình liên kết gen. Đây là hiện tượng các gen trên cùng một nhiễm sắc thể di truyền cùng với nhau.

Chính vì thế, cơ sở của quá trình liên kết gen là hiện tượng các gen quy định các tính trạng khác nhau, như màu thân hay dạng cánh… sẽ cùng nằm trên một nhiễm sắc thể. Do đó, các gen này sẽ di truyền cùng nhau.

Ý nghĩa của quá trình hoán vị gen

Hoán vị gen có các ý nghĩa sau chúng ta cần nắm được:

Hiện tượng hoán vị gen làm tăng tính đa dạng ở các loài giao phối vì kết quả của quá trình này khi kết thúc sẽ làm tăng số giao tử và sự biến dị tổ hợp.

Đồng thời, hoán vị gen hay sự di truyền liên kết không hoàn toàn đã giúp các gen quý có cơ hội được tạo thành các gen có liên kết mới. Đây là một ý nghĩa vô cùng to lớn đối với quá trình tiến hóa cũng như chọn giống.

Nhờ hoán vị gen, các nhà khoa học đã thiết lập được khoảng cách tương đối giữa các gen trong nhiễm sắc thể. Qua đó tạo cơ sở để thiết lập bản đồ gen và dự đoán được khoảng cách tương đối giữa các gen trên nhiễm sắc thể. Kết quả là các nhà khoa học có thể giảm được thời gian chọn đôi giao phối.

Cập nhật thông tin chi tiết về Giải Đáp Toán Học: Tổ Hợp, Chỉnh Hợp, Hoán Vị Là Gì? trên website Channuoithuy.edu.vn. Hy vọng nội dung bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu của bạn, chúng tôi sẽ thường xuyên cập nhật mới nội dung để bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!