Xu Hướng 3/2024 # Giải Đáp Toán Học: Tổ Hợp, Chỉnh Hợp, Hoán Vị Là Gì? # Top 4 Xem Nhiều

Bạn đang xem bài viết Giải Đáp Toán Học: Tổ Hợp, Chỉnh Hợp, Hoán Vị Là Gì? được cập nhật mới nhất tháng 3 năm 2024 trên website Channuoithuy.edu.vn. Hy vọng những thông tin mà chúng tôi đã chia sẻ là hữu ích với bạn. Nếu nội dung hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất.

Tổ hợp là gì?

Trong Toán học, tổ hợp là cách chọn những phần tử chứa từ một nhóm lớn hơn mà không phân biệt thứ tự.

Ví dụ: Có ba loại quả đó là một quả táo, một quả cam và một quả lê. Từ đây ta sẽ có ba cách để kết hợp hai loại quả từ tập hợp này như sau: một quả táo và một quả cam, một quả cam và một quả lê, một quả lê và một quả táo. 

Theo định nghĩa, tổ hợp chập k của n phần tử chính là một tập hợp con của tập hợp mẹ S bao gồm n phần tử. Tập hợp con này sẽ gồm k phần tử riêng biệt thuộc S và không sắp thứ tự. Số tổ hợp chập k của n phần tử sẽ bằng với hệ số nhị thức.

Công thức trên có thể được viết dưới dạng giai thừa:

Trong đó: 

Các tổ hợp có thể là tổ chập bao gồm k các phần tử khác nhau lấy từ n phần tử có sự lặp lại hoặc không lặp lại. 

Chỉnh hợp là gì?

Trong Toán học thì chỉnh hợp là cách chọn những phần tử từ một nhóm nào đó lớn hơn và có phân biệt thứ tự. Nó khác với tổ hợp là không phân biệt thứ tự.

Theo khái niệm, chỉnh hợp chập k của n phần tử là một tập con của tập hợp mẹ S chứa n phần tử. Tập con này gồm k phần tử riêng biệt thuộc S và có sắp xếp theo thứ tự. 

Số chỉnh hợp chập k của một tập S thường được tính theo công thức sau: 

Ví dụ: Với tập hợp E = {a,b,c,d}. Chỉnh hợp chập 3 của 4 phần tử trong E sẽ là:

Trong Tiếng Việt, chỉnh hợp được ký hiệu bằng chữ A, đây là viết tắt của “Arrangement”.

Hoán vị là gì?

Cho tập hợp A gồm có n phần tử (n ≥ 1). Mỗi kết quả của việc sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A sẽ được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.

Công thức hoàn vị:

Ký hiệu hoán vị của n phần tử là: Pn.

Phân biệt tổ hợp chỉnh hợp

Để phân biệt tổ hợp và chỉnh hợp ta có thể dựa vào định nghĩa của hai thuật ngữ này. 

Đối với chỉnh hợp:

Trong n phần tử của tập hợp A ta sẽ lấy ra k phần tử. Trong k phần tử đã lấy ra này ta sắp xếp chúng theo một thứ tự và mỗi cách sắp xếp như vậy ta sẽ được một chỉnh hợp. Ví dụ ta lấy ra 3 số là 1, 2, 3 sau đó từ 3 số này ta lại sắp xếp thành các số có 3 chữ số. Như vậy ta sẽ có các số như sau: 123, 132, 312, 321, 213, 231. Qua đây bạn có thể nhận thấy với việc thay đổi vị trí ra đã có được 6 số khác nhau và mỗi số đó lại là 1 chỉnh hợp.

Đối với tổ hợp

Tròn n phần tử của tập hợp A ta lấy ra một tập con gồm k phần tử. Khi nói đến khái niệm tổ hợp ta sẽ không phân biệt vị trí hay thứ tự của các phần tử trong đó, mà chúng ta chỉ quan tâm xem trong tập đó có bao nhiêu phần tử thôi. Mỗi cách ta sẽ lấy ra một tập con gồm k phần tử cứu như vậy ta thu được một tổ hợp.

Ví dụ: Ta lấy ra 3 phần tử là các số: 1, 2, 3. Sau đó các số này ta sẽ đặt vào các vị trí khác nhau trong tập con. Từ đó, ta thu được các tập con là: A = {1; 2; 3}; B = {1; 2; 3}; C = {2; 2; 3}; D = {2; 3; 1}; E = {3; 1; 2}; F = {3; 2; 1}.

Qua đây các bạn sẽ thấy chúng ta thu về được 6 tập con là A, B, C, D, E, F thế nhưng các phần tử vẫn là 1, 2, 3. Vậy nên 6 tập con ở trên là bằng nhau hay nói đơn giản thì chúng là một. 

Các dạng bài tập của tổ hợp, chỉnh hợp, hoán vị

Các dạng bài tập phổ biến của tổ hợp, chỉnh hợp, hoán vị đó là:

Dạng 1 là bài toán đếm

Dạng 2 là xếp vị trí – cách chọn và phân công công việc

Hoán Vị, Chỉnh Hợp, Tổ Hợp Và Bài Tập Áp Dụng

I. Tóm tắt lý thuyết hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

1. Quy tắc đếm

a) Quy tắc cộng: Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo phương án A hoặc phương án B . Có n cách thực hiện phương án A và m cách thực hiện phương án B. Khi đó công việc có thể thực hiện bởi n+m cách.

b) Quy tắc nhân: Giả sử một công việc nào đó bao gồm hai công đoạn  A và  B . Công đoạn  A có thể làm theo n  cách. Với mỗi cách thực hiện công đoạn A thì công đoạn B có thể làm theo m cách. Khi đó công việc có thể thực hiện theo n.m cách.

2. Hoán vị

+ Định nghĩa: Cho tập A gồm n phần tử (n≥1). Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.

+ Số các hoán vị của một tập hợp có n phần tử là: Pn=n!=n(n-1)(n-2)…1.     

+ Chú ý: 0! = 1

* Ví dụ 1. Sắp xếp 5 người vào một băng ghế có 5 chỗ. Hỏi có bao nhiêu cách.

° Lời giải: Mỗi cách đổi chỗ 1 trong 5 người trên băng ghế là 1 hoán vị.

⇒ Vậy có P5 = 5! = 120 cách sắp.

* Ví dụ 2. 

Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được mấy số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau.

° Lời giải:

– Gọi A=a1a2a3a4a5 với a1≠0 và a1, a2, a3, a4, a5 phân biệt là số cần lập.

+ Bước 1: chữ số a1≠0 nên có 4 cách chọn a1.

+ Bước 2: sắp 4 chữ số còn lại vào 4 vị trí có 4! = 24 cách.

⇒ Vậy có 4.24 = 96 số.

3. Chỉnh hợp

+ Định nghĩa: Cho một tập A gồm n phần tử (n≥1). Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.

+ Số các chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử (1≤k≤n) là:

* Ví dụ 3. Sắp xếp 5 người vào một băng ghế có 7 chỗ. Hỏi có bao nhiêu cách.

° Lời giải: 

– Mỗi cách chọn ra 5 chỗ ngồi từ băng ghế để sắp 5 người vào và có hoán vị là một chỉnh hợp chập 5 của 7.

⇒ vậy có tổng cộng 2520 cách sắp.

* Ví dụ 4. Từ tập hợp X={0;1;2;3;4;5} có thể lập được mấy số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau.

° Lời giải:

- Gọi A=a1a2a3a4với a1≠0 và a1, a2, a3, a4, phân biệt là số cần lập

+ Bước 1: chữ số a1≠0 nên có 5 cách chọn a1.

4. Tổ hợp

+ Định nghĩa: Cho tập hợp X gồm n phần tử phân biệt (n≥1). Mỗi cách chọn ra k (n ≥ k ≥ 1) phần tử của X được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.

+ Số các tổ hợp chập k của n phần tử (1≤k≤n) là:

* Ví dụ 5. Có 10 cuốn sách toán khác nhau. Chọn ra 4 cuốn, hỏi có bao nhiêu cách.

° Lời giải: Mỗi cách chọn ra 4 trong 10 cuốn sách là một tổ hợp chập 4 của 10. vậy ta có:

⇒ Vậy có 210 cách.

II. Bài tập áp dụng Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

* Bài tập 1. Trong một trường, khối 11 có 308 học sinh nam và 325 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một học sinh khối 11 đi tham dự cuộc thi “huyền thoại đường Hồ Chí Minh trên biển” cấp huyện?

° Lời giải:

Trường hợp 1. Chọn 1 học sinh nam.  có 308 cách

Trường hợp 2. Chọn 1 học sinh nữ. Có 325 cách

Vậy, có 308 + 325 = 633 cách chọn một học sinh tham dự cuộc thi trên.

* Bài tập 2. Hỏi có bao nhiêu đa thức bậc ba.

P(x) =ax3+bx2+cx+d mà ác hệ số a, b, c, d thuộc tập {-3,-2,0,2,3}. Biết rằng.

a) Các hệ số tùy ý;

b) Các hệ số đều khác nhau.

° Lời giải:

a) Có 4 cách chọn hệ số a (vì a≠0). Có 5 cách chọn hệ số b, 5 cách chọn hệ số c, 4 cách chọn hệ số d. Vậy có. 4.5.5.5 =500 đa thức.

b) Có 4 cách chọn hệ số a (a≠0).

– Khi đã chọn a, có 4 cách chọn b.

– Khi đã chọn a và b, có 3 cách chọn c.

– Khi đã chọn a, b và c, có 2 cách chọn d.

Theo quy tắc nhân ta có. 4.4.3.2=96 đa thức.

* Bài tập 3. Một lớp trực tuần cần chọn 2 học sinh kéo cờ trong đó có 1 học sinh  nam, 1 học sinh  nữ. Biết lớp có 25 nữ và 15 nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 2 học sinh kéo cờ nói trên.

° Lời giải:

Chọn học sinh nam ta có 15 cách chọn

Ứng với 1 học sinh  nam, chọn 1 học sinh nữ có 25 cách chọn

Vậy số cách chọn là 15. 25=375 cách.

* Bài tập 4. Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lập ra số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau.

a) Hỏi lập được bao nhiêu số?

b) Có bao nhiêu số lẻ?

° Lời giải:

a) Số tự nhiên có bốn chữ số dạng là: abcd

Có 7 cách chọn a

Có 6 cách chọn b

Có 5 cách chọn c

Có 4 cách chọn d

Vậy có 7.6.5.4 = 840 số

b) Cách tính các số lẻ:

Cách 1. Số tự nhiên lẻ có bốn chữ số dạng:abcd  

Vì số lẻ nên tận cùng là số lẻ nên d có 4 cách chọn.

Có 6 cách chọn a

Có 5 cách chọn b

Có 4 cách chọn c

Vậy có 4.6.5.4 = 480 số tự nhiên lẻ có bốn chữ số khác nhau

Cách 2. Số tự nhiên lẻ có bốn chữ số khác nhau dạng: abc1 hoặc abc3 hoặc abc5 hoặc abc7

+ Xét số dạng abc1

chọn a có 6 cách

chọn b có 5 cách

chọn c có 4 cách

Vậy có 6.5.4 = 120 số lẻ dạng abc1

+ Tương tự các trường hợp còn lại. Vậy có 4.120 = 480 số lẻ có bốn chữ số được lập từ các số đã cho.

* Bài tập 5. Từ các số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6. lập ra số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau.

a) Hỏi lập được bao nhiêu số.

b) Có bao nhiêu số chia hết cho 5.

° Lời giải:

a) Số tự nhiên có 3 chữ số dạng: abc

Có 6 cách chọn a vì a≠0.

Có 6 cách chọn b

Có 5 cách chọn c

Vậy có 6.6.5 = 180 số

b) Số tự nhiên có 3 chữ số và chia hết cho 5 dạng: ab0 hoặc ab5

+ Xét số dạng ab0

Có 6 cách chọn a và 5 cách chọn b. Vậy có 6.5 = 30 số

+ Xét số dạng ab5

Có 5 cách chọn a và 5 cách chọn b. Vậy có 5.5 = 25 số

⇒ Tổng số tự nhiên có 3 chữ số chia hết cho 5 là 30+25=55 số

* Bài tập 6. Trong giờ học môn Giáo dục quốc phòng, một tiểu đội học sinh gồm tám người được xếp thành một hàng dọc. Hỏi có bao nhiêu cách xếp?

° Lời giải:

Mỗi cách xếp 8 người thành một hàng dọc là một hoán vị của 8 phần tử.

Vậy số cách xếp 8 người thành hàng dọc là:  8!  = 8.7.6.5.4.3.2 = 40320 (cách xếp)

* Bài tập 7. Để tạo những tín hiệu, người ta dùng 5 lá cờ màu khác nhau cắm thành hàng ngang. Mỗi tín hiệu được xác định bởi số lá cờ và thứ tự sắp xếp. Hỏi có có thể tạo bao nhiêu tín hiệu nếu.

a) Cả 5 lá cờ đều được dùng;

b) Ít nhất một lá cờ được dùng.

° Lời giải:

a) Nếu dùng cả 5 lá cờ thì một tín hiệu chính là một hoán vị của 5 lá cờ.

Vậy có: 5! =120 tín hiệu được tạo ra.

b) Mỗi tín hiệu được tạo bởi k lá cờ là một chỉnh hợp chập k của 5 phần tử. Theo quy tắc cộng, có tất cả.

* Bài tập 8. Từ một tổ gồm 6 bạn nam và 5 bạn nữ, chọn ngẫu nhiên 5 bạn xếp vào bàn đầu theo những thứ tự khác nhau sao cho trong cách xếp trên có đúng 3 bạn nam. Hỏi có bao nhiêu cách xếp.

° Lời giải:

Để xác định số cách xếp ta phải làm theo các công đoạn như sau.

Chọn 3 nam từ 6 nam. có C36 cách.

Chọn 2 nữ từ 5 nữ. có C25 cách.

Xếp 5 bạn đã chọn vào bàn đầu theo những thứ tự khác nhau. có 5! Cách.

* Bài tập 9. Một tổ chuyên môn gồm 7 thầy và 5 cô giáo, trong đó thầy P và cô Q là vợ chồng. Chọn ngẫu nhiên 5 người để lập hội đồng chấm thi vấn đáp. Có bao nhiêu cách lập sao cho hội đồng có 3 thầy, 2 cô và nhất thiết phải có thầy P hoặc cô Q nhưng không có cả hai.

° Lời giải:

♦ TH1. hội đồng gồm 3 thầy, 2 cô trong đó có thầy P nhưng không có cô Q. Khi đó ta cần chọn 2 trong 6 thầy còn lại (trừ thầy P)  rồi chọn 2 trong 4 cô (trừ cô Q)

      Có C26 . C24 = 90 (vì C26 = 15, C24 = 6)

♦ TH2. hội đồng gồm 3 thầy, 2 cô trong đó có cô Q nhưng không có thầy P. Khi đó ta cần chọn 3 trong 6 thầy còn lại (trừ thầy P) rồi chọn 1 trong 4 cô (trừ cô Q)

      Có C36 . C14 = 80 (vì C36 = 20, C14 = 4)

 Vậy, có C26 . C24 + C36 . C14 = 90 + 80 = 170 cách lập hội đồng coi thi.       

Phân Biệt Sự Khác Nhau Giữa Hoán Vị, Chỉnh Hợp, Tổ Hợp 2024

Hoán vị, Chỉnh hợp, Tổ hợp là các khái niệm cơ bản của Đại số Tổ hợp. Khi nói đến những khái niệm này phần lớn các em học sinh còn “bối rối”. Mục đích của bài viết này là đưa ra những chú ý để các em có thể phân biệt được các khái niệm này. Phần lý thuyết này quan trọng, cần thiết cho các em học sinh lớp 11, ôn thi THPT Quốc gia và đặc biệt bổ ích cho các em sinh viên trước khi học “Xác suất thống kê” ở bậc Đại học, Cao đẳng. Đầu tiên tôi xin nhắc lại các khái niệm Hoán vị, Chỉnh hợp, Tổ hợp.

1. Hoán vị: Cho tập hợp gồm n phần tử. Một hoán vị của n phần tử là sự sắp xếp chúng theo một thứ tự nhất định, mỗi phần tử có mặt đúng một lần.

Ký hiệu và công thức: Pn=n!

Ví dụ: Có 3 vận động viên A,B,C chạy thi. Nếu không kể trường hợp có 2 vận động viên cùng về đích một lúc thì có bao nhiêu khả năng xảy ra?

Giải: Do các vận động viên về đích được tính theo một thứ tự nhất định nên ta có P3=3!=6 {khả năng}.

2. Chỉnh hợp: Cho tập hợp gồm n phần tử, và số nguyên k với 0≤k≤n. Chỉnh hợp chập k của n phần tử là một nhóm gồm k phần tử khác nhau được lấy từ n phần tử và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó.

Ký hiệu và công thức: Ank=n!(n−k)!=n(n−1)…(n−k+1). Chú ý: 0!=1, An0=1,Ann=Pn=n!

Ví dụ: Một nhóm 5 bạn A, B, C, D, E. Hãy kể ra các cách phân công 3 bạn làm trực nhật, trong đó 1 bạn quét nhà, 1 bạn lau bảng và 1 bạn xếp bàn ghế.

Giải: Theo công thức chỉnh hợp ta có số cách phân công là A53=5!(5−3)!=60.

3. Tổ hợp: Cho n phần từ. Tổ hợp chập k của n phần tử là một nhóm không phân biệt thứ tự gồm k phần tử lấy từ n phần tử đã cho.

Ký hiệu và công thức: Cnk=n!k!(n−k)!. Một vài tình chất: Cnk=Cnn−k, Cn0=Cnn=1, Cn1=Cnn−1=n, Cn+1k=Cnk+Cnk−1.

Ví dụ: Trong một lớp có 40 sinh viên gồm 25 nam và 15 nữ. Chọn ngẫu nhiên 4 em vào ban cán sự. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu: 1) Số nam hoặc nữ trong ban là tùy ý. 2) Phải có 1 nam và 3 nữ.

Giải: 1) Từ 40 sinh viên chọn tùy ý ra 4 sinh viên ta có số cách chọn là C404=91390. 2) Số cách chọn 1 nữ là C151, số cách chọn 3 nam là C253. Vậy số cách chọn 1 nữ và 3 nam là C151C253.

Phần cuối, mời các bạn xem trong bảng các chú ý khi dùng Tổ hợp, Chỉnh hợp và Hoán vị

Hoán Vị, Chỉnh Hợp Và Tổ Hợp: Công Thức Và Các Dạng Chi Tiết

Ở trên ta đã có định nghĩa của một hoán vị. Vậy câu hỏi tự nhiên đặt ra là có bao nhiêu hoán vị? Chúng ta có thể dễ dàng trả lời câu hỏi đó bằng cách áp dụng quy tắc nhân.

Giả sử ta có n vị trí đánh số từ 1 tới n. Để được 1 hoán vị của n phần tử đã cho, ta xếp từng phần tử lần lượt vào các vị trí từ 1 đến n. Xếp vào vị trí thứ 1 có n cách. Xếp vào vị trí thứ 2 có n-1 cách (vì 1 phần tử đã xếp vào vị trí thứ 1 rồi). Cứ như vậy đến hết. Vậy số hoán vị của n phần tử đã cho là

Xét ví dụ sau: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 9 chữ số sao cho chữ số 1 xuất hiện đúng một lần, chữ số 2 xuất hiện đúng ba lần, chữ số 3 xuất hiện đúng 2 lần, chữ số 4 xuất hiện đúng 3 lần?

Khi đó số 122233444 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Nếu ở số trên mà ta hoán vị 2 chữ số 3 chẳng hạn thì số không đổi. Do đó vẫn là 1 số thỏa mãn yêu cầu bài toán mà thôi. Dạng bài toán tương tự như ví dụ trên gọi là hoán vị lặp.

Vậy đếm số hoán vị lặp như thế nào?

Giả sử một tập hợp có k phần tử được đánh số từ 1 đến k. Một cách sắp xếp k phần tử đó sao cho phần tử thứ i (1≤i≤k) xuất hiện n(i) lần và n(1)+n(2)+…+n(k)=n được gọi là một hoán vị lặp của k phần tử. Số hoán vị lặp là

Ví dụ ta có tập hợp 7 viên ngọc rồng đánh số từ 1 đến 7. Một tổ hợp chập 3 của 7 được minh họa như hình.

Để dễ dàng phân biệt tổ hợp và chỉnh hợp ta quay lại ví dụ 7 viên ngọc rồng ở phần trên. Ở đây lấy ra 3 viên ngọc và sắp theo thứ tự từ trái qua phải. Một chỉnh hợp chập 3 của 7 được minh họa như hình.

Số chỉnh hợp chập k của n: Để đếm số tổ hợp chập k của n ta giả sử có k vị trí đánh số từ 1 đến k. Lấy lần lượt các phần tử xếp vào các vị trí. Mỗi vị trí 1 phần tử ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử. Lấy một phần tử xếp vào vị trí thứ nhất có n cách. Lấy tiếp 1 phần tử xếp vào vị trí số 2 có n-1 cách…cứ như vậy đến phần tử thứ k có n-k+1 cách. Vậy số chỉnh hợp chập k của n là

Theo các định nghĩa bên trên ta có thể thấy tổ hợp chỉnh hợp hoán vị có mối liên hệ với nhau. Cụ thể một chỉnh hợp chập k của n được tạo thành bằng cách thực hiện 2 bước. Bước 1 là lấy 1 tổ hợp chập k của n phần tử. Bước 2 là hoán vị k phần tử đó. Vì vậy ta có công thức liên hệ giữa chỉnh hợp tổ hợp hoán vị như sau:

Sinh Các Hoán Vị Và Tổ Hợp

Có nhiều thuật toán đã được phát triển để sinh ra n! hoán vị của tập

{1,2,…,n}. Ta sẽ mô tả một trong các phương pháp đó, phương pháp liệt kê các hoán vị của tập {1,2,…,n} theo thứ tự từ điển. Khi đó, hoán vị chúng tôi được gọi là đi trước hoán vị chúng tôi nếu tồn tại k (1 ≤ k ≤ n), a1 = b1, a2 = b2,…, ak-1 = bk-1 và ak

< bk.

Thuật toán sinh các hoán vị của tập {1,2,…,n} dựa trên thủ tục xây dựng

hoán vị kế tiếp, theo thứ tự từ điển, từ hoán vị cho trước a1 a2 chúng tôi Đầu tiên nếu an-1

< an thì rõ ràng đổi chỗ an-1 và an cho nhau thì sẽ nhận được hoán vị mới đi liền sau

Cặp số nguyên đầu tiên tính từ phải qua trái có số trước nhỏ hơn số sau là a3

= 3 và a4 = 6. Số nhỏ nhất trong các số bên phải của số 3 mà lại lớn hơn 3 là số 5. Đặt số 5 vào vị trí thứ 3. Sau đó đặt các số 3, 6, 1, 2 theo thứ tự tăng dần vào bốn vị trí còn lại. Hoán vị liền sau hoán vị đã cho là 4751236.

2, 1))

j := n - 1

j := j - 1 {j là chỉ số lớn nhất mà aj < aj+1}

k := n

k := k – 1 {ak là số nguyên nhỏ nhất trong các số lớn hơn aj và bên

{Điều này sẽ xếp phần đuôi của hoán vị ở sau vị trí thứ j theo thứ tự tăng dần.}

Làm thế nào để tạo ra tất cả các tổ hợp các phần tử của một tập hữu hạn? Vì tổ hợp chính là một tập con, nên ta có thể dùng phép tương ứng 1-1 giữa các tập con của {a1,a2,…,an} và xâu nhị phân độ dài n.

Ta thấy một xâu nhị phân độ dài n cũng là khai triển nhị phân của một số

nguyên nằm giữa 0 và 2n - 1. Khi đó 2n xâu nhị phân có thể liệt kê theo thứ tự tăng dần của số nguyên trong biểu diễn nhị phân của chúng. Chúng ta sẽ bắt đầu từ xâu nhị phân nhỏ nhất 00…00 (n số 0). Mỗi bước để tìm xâu liền sau ta tìm vị trí đầu tiên tính từ phải qua trái mà ở đó là số 0, sau đó thay tất cả số 1 ở bên phải số này bằng 0 và đặt số 1 vào chính vị trí này.

procedure Xâu nhị phân liền sau (bn-1bn-2…b1b0): xâu nhị phân khác (11…11)

i := 0

a2 = 3, sau đó đặt a3 = 3 + 1 = 4 và a4 = 3 + 2 = 5. Vậy tổ hợp liền sau tổ hợp đã cho là {1,3,4,5}. Thủ tục này được cho dưới dạng thuật toán như sau.

procedure Tổ hợp liền sau ({a1, a2, …, ak}: tập con thực sự của tập {1, 2, …, n}

không bằng {n - k + 1, …, n} với a1 < a2 < … < ak)

i := k

ai := ai + 1

aj := ai + j - i

Cách Học Tốt Chỉnh Hợp Tổ Hợp

Chỉnh hợp -  tổ hợp là một trong những phân dạng của bộ môn Toán mà các bạn học sinh cần phải nắm vững khi lên cấp 3 chủ yếu là trong chương trình Toán học lớp 11. Chỉnh hợp tổ hợp là dạng Toán quan trọng có trong cấu trúc đề thi đại học, chính vì vậy mà việc học sao cho tốt và nắm vững kiến thức ở dạng toán này chính là điều mà các bạn học sinh cấp 3 cần lưu ý. Thế nhưng, dạng Toán này tuy không quá khó nhưng cũng không quá dễ, các bạn học sinh rất dễ bị nhầm lẫn và không thể làm bài tốt nếu không nắm vững và học tập đúng cách. Và để giúp các bạn học sinh có thể vượt qua được những khó khăn trong việc học Chỉnh hợp -  tổ hợp, bài viết này sẽ mách cho các bạn những cách giúp học tốt dạng toán này.

 

Phương pháp học tốt tổ hợp chỉnh hợp

Phương pháp học tốt tổ hợp chỉnh hợp

 

Nắm rõ khái niệm, công thức của từng loại

 

Chỉnh hợp – tổ hợp là hai khái niệm toán khác nhau và có công thức riêng cho từng loại. Chính vì vậy mà điều đầu tiên nếu các bạn học sinh muốn học tốt nó phải nắm chắc khái niệm, định nghĩa và công thức cho mỗi loại. Các bạn phải biết chỉnh hợp là gì, tổ hợp là gì thì khi vào bài tập các bạn mới có thể sử dụng đúng công thức. Học thuộc lòng công thức luôn là yếu tố quan trọng nhất đối với mỗi dạng toán khác nhau và chỉnh hợp – tổ hợp cũng vậy. Chỉnh hợp tổ hợp khái niệm của nó sẽ không quá khó, tuy nhiên nó lại na ná giống nhau, vì vậy mà nếu nắm không chắc mà chỉ qua loa thì rất dễ khiến các bạn học sinh nhầm lẫn.

 

 

Phân biệt rõ cách dùng của chỉnh hợp và tổ hợp

 

Mỗi công thức toán đều sẽ có mỗi trường hợp để áp dụng khác nhau và chỉnh hợp tổ hợp cũng vậy. Các bạn học sinh cần học cách xác định và phân biệt rõ từng trường hợp cách dùng của chỉnh hợp tổ hợp để khi vào bài tập thì áp dụng cho đúng.Ở các dạng bài tập của chỉnh hợp, tổ hợp, câu hỏi bài tập thường giống nhau và hay yêu cầu các bạn tìm cùng lúc cả hai. Các bài tập này sẽ không bao giờ yêu cầu rõ là bạn tìm chỉnh hợp hay tổ hợp, mà sẽ hỏi bằng những câu gián tiếp, nhiệm vụ của bạn là xác định câu nào sử dụng tổ hợp, câu nà sử dụng chỉnh hợp. Chính vì vậy mà nếu các bạn không biết phân biệt sẽ rất khó để học được nó. Hãy dùng một cuốn sổ tay và ghi chép đầy đủ sự khác biệt giữa chỉnh hợp và tổ hợp. Các bạn có thể tự mình xem xét các dạng bài tập và tự rút ra cho mình những cách dùng của từng dạng cụ thể. Như vậy sẽ giúp các bạn có thể phân biệt được chỉnh hợp tổ hợp đấy.

 

Mẹo học tốt chỉnh hợp tổ hợp

Mẹo học tốt chỉnh hợp tổ hợp

 

Đọc và xem nhiều bài toán về chỉnh hợp – tổ hợp

 

Sẽ không còn cách nào giúp bạn phân biệt chỉnh hợp tổ hợp tốt hơn bằng cách đọc và xem thật nhiều các bài toán khác nhau về chỉnh hợp tổ hợp. Nếu các bạn còn đang mơ hồ về nó, hãy tìm và xem xét thật kỹ các bài toán trong sách giáo khoa hoặc sách tham khảo. Xem hướng dẫn giải từng bài tập để hiểu được cách dùng của từng loại. Từ đó, các bạn sẽ làm quen và hình dung được chỉnh hợp tổ hợp. Cách đọc và xem các bài toán giúp các bạn làm quen được với những câu hỏi về các bài tập chỉnh hợp tổ hợp để làm quen với từng dạng bài khác nhau.

 

 

Nếu cách trên là đọc và xem nhiều bài toán để làm quen thì sau khi đã phân biệt và hiểu được như thế nào là chỉnh hợp và tổ hợp thì các bạn nên áp dụng nó vào thực tế bằng cách làm thật nhiều bài tập về nó. Hãy tìm cho mình thật nhiều bài tập về từng loại chỉnh hợp tổ hợp theo từng độ khó khác nhau và cứ làm tới làm lui. Việc làm nhiều bài tập như vậy sẽ giúp các bạn hình thành thói quen suy nghĩ, động não và giúp não bộ quen dần với từng dạng bài tập. Một khi đã quen với điều này thì mỗi khi các bạn gặp bất kỳ bài toán nào đều sẽ có thể giải quyết một cách rõ ràng. Nếu chỉ học lý thuyết suông mà không thực hành thì các bạn sẽ chẳng bao giờ học tốt được. Chính vì vậy sau khi đã nắm vững lý thuyết hãy mạnh dạn áp dụng nó vào việc thực hành các bài tập. Các bạn sẽ tự tìm ra những điểm sai và kinh nghiệm cho mình sau mỗi bài tập đã hoàn thành để giúp tiến bộ hơn.

 

Làm sao để học tốt tổ hợp, chỉnh hợp

Làm sao để học tốt tổ hợp, chỉnh hợp

 

 

Võ Thị Ngọc Linh

 

Cách học tốt chỉnh hợp tổ hợp

Cập nhật thông tin chi tiết về Giải Đáp Toán Học: Tổ Hợp, Chỉnh Hợp, Hoán Vị Là Gì? trên website Channuoithuy.edu.vn. Hy vọng nội dung bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu của bạn, chúng tôi sẽ thường xuyên cập nhật mới nội dung để bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!